Nieszablonowy rachunek wariacyjny

seminaria monograficzne

Zasadniczo wymagamy zaliczenia studiów licencjackich

w sali

Zajmujemy się nietypowymi sytuacjami w rachunku wariacyjnym. Kluczowym przykładem są funkcjonały o liniowym wzroście i odpowiadające im potoki gradientowe. Obserwujemy np. skończony czas wygładzania rozwiązań.

Będziemy też opowiadali o związkach gier stochastycznych z równaniami różniczkowymi na przykładach artykułu Konha i Serfaty a także serii prac Manfrediego.

Celem seminarium jest przedstawienia tematyki, pokazującej sytuacje, gdzie zacinają się `standardowe metody' rachunku wariacyjnego. Takie podejście wymaga w pierwszym rzędzie wyjaśnienia, czym są owe standardowe metody. W polu naszego widzenia są też stowarzyszone zagadnienia ewolucyjne, [BDS], [BS].

Jest kilka możliwych powodów interesujących nas zacięć. Jednym z nich jest powolny, czyli liniowy wzrost rozpatrywanych funkcjonałów. Może to prowadzić do zjawisk takich jak koncentracja masy. W przypadku ewolucyjnym będziemy mieli do czynienia z rozwiązaniami miarowymi.

Będziemy zajmowali się tym, jak nie dopuścić do koncentracji masy, [BC].

Zobaczymy też zaskakujące zjawiska w równaniach parabolicznych, od których oczekiwalibyśmy natychmiastowego wygładzania danych. Mianowicie wygładzenie zachodzi, ale po skończonym czasie oczekiwania, [BNO], [LT]

Druga część seminarium  poświęcona będzie związkom nieliniowych równań cząstkowych z grami stochastycznymi. Jak wiadomo funkcje harmoniczne można scharakteryzować przez własność wartości średniej. Taka charakteryzacja może zostać rozszerzona na rozwiązania równań cząstkowych z nieliniowym operatorem  typu p-laplasjanu. Okazuje się, że ten fakt otwiera drogę do interpretacji rozwiązań jako pewnych strategii w grach stochastycznych (tug-of-war games). Jest to ostatnio żywa dziedzina badań, zapoczątkowana dekadę temu pracami: [PSh], [PSS].

Charakteryzacja rozwiązań przez własność wartości średniej (dla p-laplasjanu oraz dla 1-laplasjanu) oraz jej zastosowania w programowaniu dynamicznym i zagadnieniach optymalizacyjnych były następnie rozwijane w cyklu prac Manfrediego: [LM], [MPR1], [MPR2], [KMP].

Omawiając związki teorii gier z równaniami nie sposób pominąć poglądowej, ale głębokiej pracy Kohna i Serfaty, [KS]. Pokazuje ona związki teorii gier z ruchem średniokrzywiznowym.

[BS] Beck, Lisa; Schmidt, Thomas On the Dirichlet problem for variational integrals in BV. J. Reine Angew. Math. 674 (2013), 113–194.

[BNO] Bellettini, Giovanni; Novaga, Matteo; Orlandi, Giandomenico Eventual regularity for the parabolic minimal surface equation. Discrete Contin. Dyn. Syst. 35 (2015), no. 12, 5711–5723.

[BC] Boccardo, Lucio; Cirmi, G. Rita Some elliptic equations with W^{1,1}_0 solutions. Nonlinear Anal. 153 (2017), 130–141.

[BDS] Bögelein, Verena; Duzaar, Frank; Scheven, Christoph The total variation flow with time dependent boundary values. Calc. Var. Partial Differential Equations 55 (2016), no. 4, Art. 108, 31 pp.

[KMP] Kawohl, Bernd; Manfredi, Juan; Parviainen, Mikko, Solutions of nonlinear PDEs in the sense of averages. J. Math. Pures Appl. (9) 97 (2012), no. 2, 173–188.

[KS} Robert Kohn; Sylvia Serfaty A deterministic-control-based approach to motion by curvature. Commun Pure Appl Math 59(3):344–407, 2006

[LM] Lewicka, Marta; Manfredi, Juan J. Game theoretical methods in PDEs. 

Boll. Unione Mat. Ital. 7 (2014), no. 3, 211–216.

[LT] A. Lichnewski and R. Temam, Pseudosolutions of the time-dependent minimal surface problem, J. Differential Equations, 30 (1978), 340–364.

[MPR1] Manfredi, Juan J.; Parviainen, Mikko; Rossi, Julio D. An asymptotic mean value characterization for p-harmonic functions. Proc. Amer. Math. Soc. 138 (2010), no. 3, 881–889.

[MPR2] Manfredi, Juan J.; Parviainen, Mikko; Rossi, Julio D. An asymptotic mean value characterization for a class of nonlinear parabolic equations related to tug-of-war games. SIAM J. Math. Anal. 42 (2010), no. 5, 2058–2081.

[PSh] Peres, Yuval; Sheffield, ScottTug-of-war with noise: a game-theoretic view of the p-Laplacian. Duke Math. J. 145 (2008), no. 1, 91–120.

[PSS] Peres, Yuval; Schramm, Oded; Sheffield, Scott; Wilson, David B. Tug-of-war and the infinity Laplacian. J. Amer. Math. Soc. 22 (2009), no. 1, 167–210.

1) Słuchacz zna i rozumie czym są metody bezpośrednie rachunku wariacyjnego.

2) Słuchacz zna i rozumie zjawiska związane z liniowym wzrostem funkcjonałów wariacyjnych i ich potoków gradientowych.

3) Student zna pojęcie własności wartości średniej rozwiązań eliptycznych równań cząstkowych.

4) Student rozumie związek eliptycznych równań cząstkowych z grami stochastycznymi.

Warunkiem zaliczenia jest wygłoszenie przynajmniej jednego referatu w semestrze.