Algebra for MSEM II
General data
Course ID: | 1000-112ADM2 |
Erasmus code / ISCED: | (unknown) / (unknown) |
Course title: | Algebra for MSEM II |
Name in Polish: | Algebra dla MSEM II |
Organizational unit: | Faculty of Mathematics, Informatics, and Mechanics |
Course groups: |
Obligatory courses for 1st grade JSEM |
ECTS credit allocation (and other scores): |
9.00
|
Language: | (unknown) |
Type of course: | obligatory courses |
Prerequisites (description): | (in Polish) Oczekuje się dobrej znajomości zagadnień ujętych w sylabusie przedmiotu Algebra dla MSEM I. |
Short description: |
(in Polish) Większa część wykładu i ćwiczeń rozwija dalej algebrę liniową: teoria diagonalizacji endomorfizmów, elementy algebry dwuliniowej ze szczególnym uwzględnieniem geometrii euklidesowej i towarzysząca im teoria form kwadratowych. Końcowa część przedmiotu poświęcona jest elementom algebry abstrakcyjnej, a więc teorii grup i pierścieni. |
Full description: |
(in Polish) Algebra dla MSEM II Algebra liniowa c.d. : 1. Endomorfizmy przestrzeni liniowych. Macierz endomorfizmu w bazie, zależność od bazy, macierze podobne (B = C^(-1)AC). Wektory, podprzestrzenie i wartości własne. Wielomian charakterystyczny. Endomorfizmy i macierze diagonalizowalne, kryteria diagonalizowalności. Twierdzenie Jordana o postaci kanonicznej macierzy endomorfizmu. 2. Podprzestrzenie afiniczne przestrzeni liniowej. Kombinacje afiniczne, bazy punktowe. Współrzędne w bazie punktowej. Układy bazowe (punkt i baza przestrzeni stycznej), parametryzacje. Przekształcenia afiniczne, odpowiadające im przekształcenia liniowe. Izomorfizmy afiniczne. 3. Formy dwuliniowe, formy symetryczne. Macierz formy dwuliniowej w bazie. 4. Iloczyny skalarne. Nierówność Schwarza. Przestrzenie euklidesowe liniowe. Dopełnienie prostopadłe podprzestrzeni. Rzuty i symetrie prostopadłe. Bazy prostopadłe (ortogonalne) i ortonormalne, współrzędne wektora w takich bazach. Ortogonalizacja Grama-Schmidta. Kryterium Sylvestera dodatniej określoności. Macierz Grama i jej własności (4 wykłady). Przekształcenia przestrzeni euklidesowych zachowujące iloczyn skalarny, izomorfizmy przestrzeni euklidesowych. Macierze ortogonalne. Izometrie. Przekształcenia samosprzężone. Diagonalizacja symetrycznych macierzy rzeczywistych za pomocą macierzy ortogonalnych. 5. Przestrzenie euklidesowe afiniczne. Odległość punktów w przestrzeniach euklidesowych, odległość punktu od podprzestrzeni. Miary w przestrzeniach euklidesowych, objętości równoległościanów i sympleksów. Kąty. Orientacja. Iloczyn wektorowy. 6. Funkcjonały (formy) liniowe, przestrzenie sprzężone (dualne). Bazy sprzężone, współrzędne funkcjonału w bazie sprzężonej, izomorfizm skończenie wymiarowej przestrzeni w przestrzeń sprzężoną. 7. Formy kwadratowe i metody ich diagonalizacji. Twierdzenie Sylvestera o bezwładności. 8. Elementy teorii zbiorów wypukłych i programowania liniowego. Teoria grup i pierścieni: 1. Grupa, grupa abelowa, podgrupa. Grupy permutacji, grupy liniowe, grupy przekształceń. Grupa multiplikatywna i grupa addytywna ciała. Grupa cykliczna, rząd elementu. Rzędy elementów grupy permutacji, rozkład permutacji na cykle. 2. Warstwy grupy względem podgrupy, indeks podgrupy, twierdzenie Lagrange'a i zastosowania: każda grupa rzędu pierwszego jest cykliczna, małe tw. Fermata. Homomorfizm grup, jądro homomorfizmu, dzielnik normalny, grupa ilorazowa. Twierdzenie o homomorfizmie. 3. Działanie grupy na zbiorze, działanie grupy na sobie (z lewej, z prawej), twierdzenie Cayleya. Orbita działania, stabilizator elementu, punkty stałe działania, działanie wolne, działanie efektywne. Moc orbity = indeks stabilizatora. Przykłady: działania grupy permutacji i grup liniowych. Zastosowanie: twierdzenie Cauchy o istnieniu elementów rzędu pierwszego w grupie skończonej. 4. Pierścienie przemienne z 1, homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Pierścień K[X] i ideały w nim. Ciało liczb zespolonych jako R[X]/(X^2+1). |
Learning outcomes: |
(in Polish) Student potrafi stosować klasyczną teorię wyznaczników do rozwiązywania zagadnień własnych w przestrzeniach skończenie wymiarowych. Znajduje też bazy ortogonalne w przestrzeniach dwuliniowych (w szczególności euklidesowych). W razie potrzeby umie zastosować podstawowe pojęcia teorii grup i pierścieni w innych działach matematyki. |
Assessment methods and assessment criteria: |
(in Polish) Na podstawie punktów uzyskiwanych w czasie semestru oraz egzaminu. |
Classes in period "Summer semester 2023/24" (in progress)
Time span: | 2024-02-19 - 2024-06-16 |
Navigate to timetable
MO TU WYK
CW
CW
W TH WYK
FR CW
CW
|
Type of class: |
Classes, 60 hours
Lecture, 60 hours
|
|
Coordinators: | Mariusz Skałba | |
Group instructors: | Oskar Kędzierski, Mariusz Skałba, Magdalena Wiertel | |
Students list: | (inaccessible to you) | |
Examination: |
Course -
Examination
Lecture - Examination |
Classes in period "Summer semester 2024/25" (future)
Time span: | 2025-02-17 - 2025-06-08 |
Navigate to timetable
MO TU W TH FR |
Type of class: |
Classes, 60 hours
Lecture, 60 hours
|
|
Coordinators: | Mariusz Skałba | |
Group instructors: | Oskar Kędzierski, Mariusz Skałba | |
Students list: | (inaccessible to you) | |
Examination: |
Course -
Examination
Lecture - Examination |
Copyright by University of Warsaw.