Linear algebra and geometry II

Endomorfizmy przestrzeni liniowych, ślad i wyznacznik endomorfizmu, wektory i wartości własne, diagonalizacja. Iloczyny skalarne, bazy ortonormalne, ortogonalizacja Grama-Schmidta, kryterium Sylvestera, macierz Grama, iloczyn wektorowy. Przekształcenia przestrzeni euklidesowych liniowych, izometrie, macierze ortogonalne, przekształcenia samosprzężone i ich diagonalizacja, iloczyny hermitowskie i diagonalizacja przekształceń unitarnych. Formy dwuliniowe i ich diagonalizacja, kryterium Sylvestera o bezwładności. Przestrzenie i przekształacenia afiniczne, bazy punktowe, przestrzenie i przekształcenia styczne. Przestrzenie euklidesowe afiniczne, ich izometrie, odległość, miara objętości. Funcje wielomianowe, hiperpowierzchnie stopnia dwa w rzeczywistej przestrzeni afinicznej. Elementy teorii kategorii.

1. Endomorfizmy przestrzeni liniowych. Macierz endomorfizmu w bazie, zależność od bazy, macierze podobne (B = C^(-1)AC). Wyznacznik i ślad endomorfizmu. Wektory, podprzestrzenie i wartości własne. Wielomian charakterystyczny. Macierze diagonalne, endomorfizmy i macierze diagonalizowalne, kryteria diagonalizowalności. Twierdzenie Jordana o postaci kanonicznej macierzy endomorfizmu (bez dowodu).

2. Iloczyny skalarne. Nierówność Schwarza. Przestrzenie euklidesowe liniowe. Dopełnienie prostopadłe podprzestrzeni. Rzuty i symetrie prostopadłe. Bazy prostopadłe (ortogonalne) i ortonormalne, współrzędne wektora w takich bazach.

Ortogonalizacja Grama-Schmidta. Kryterium Sylvestera dodatniej określoności. Macierz Grama i jej własności. Kąty.

Iloczyn wektorowy.

3. Przekształcenia zachowujące iloczyn skalarny, izomorfizmy przestrzeni euklidesowych liniowych (izometrie

liniowe). Macierze ortogonalne.

4. Przekształcenia samosprzężone. Diagonalizacja symetrycznych macierzy rzeczywistych za pomocą macierzy

ortogonalnych (twierdzenie spektralne).

5. Iloczyny hermitowskie. Przekształcenia i macierze unitarne. Diagonalizowalność przekształceń unitarnych.

6. Formy dwuliniowe, formy symetryczne. Macierz formy dwuliniowej w bazie, zależność od wyboru bazy,

kongruencja macierzy (B = C^T AC, dla odwracalnej macierzy C). Formy nieosobliwe. Dopełnienie ortogonalne

podprzestrzenie z formą nieosobliwą. Bazy prostopadłe skończeniewymiarowych przestrzeni z formą dwuliniową nad

ciałem charakterystyki różnej od 2. Twierdzenie Sylvestera o bezwładności. Formy kwadratowe i metody ich

diagonalizacji.

7. Przestrzenie afiniczne w przestrzeniach liniowych - warstwy podprzestrzeni liniowych. Kombinacje afiniczne.

Układy afinicznie niezależne, bazy punktowe. Współrzędne w bazie punktowej. Układy bazowe przestrzeni afinicznych

(punkt i baza przestrzeni stycznej), parametryzacje. Przekształcenia afiniczne, odpowiadające im przekształcenia

przestrzeni stycznych. Izomorfizmy przestrzeni afinicznych. Izomorfizm n-wymiarowej przestrzeni afinicznej z K^n.

Aksjomatyczna definicja przestrzeni afinicznej.

8. Przestrzenie euklidesowe afiniczne. Odległość punktów w przestrzeniach euklidesowych, odległość punktu od

podprzestrzeni. Izometrie afiniczne. Miary w przestrzeniach euklidesowych, objętości równoległościanów i

sympleksów.

9. Wielomiany i funkcje wielomianowe n zmiennych. Funkcje wielomianowe na przestrzeniach afinicznych. Zbiory

algebraiczne, hiperpowierzchnie, stopień hiperpowierzchni. Hiperpowierzchnie afinicznie izomorficzne. Klasyfikacja

afiniczna hiperpowierzchni stopnia 2 w C^n i w R^n. Opis przypadków R^2 i R^3. Klasyfikacja izometryczna

hiperpowierzchni stopnia 2 w R^n (osie główne).

10. Elementy teorii kategorii.

1. G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry liniowej, WNT, Warszawa 2002.

2. A. Białynicki-Birula, Algebra liniowa z geometrią PWN, Warszawa 1976.

3. J. Chaber, R. Pol, GAL, skrypt MIM UW, Warszawa 2015, dostępny jako plik

http://dydmat.mimuw.edu.pl/sites/default/files/wyklady/geometria-z-algebra-liniowa.pdf

4. T. Koźniewski, Wykłady z algebry liniowej I i II, Uniwersytet Warszawski, Warszawa 2008

5. A. I. Kostrikin, Wstęp do algebry, tom II: Algebra liniowa, PWN, Warszawa 2012. (polecany w potoku z gwiazdką)

6. A. I. Kostrikin, J. I. Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN, Warszawa 1993.

1. Zna pojęcie endomorfizmu przestrzeni liniowej i rozumie zależność macierzy endomorfizmu od wyboru bazy. Wie jakie pojęcie nie zależą od wyboru bazy (wyznacznik, ślad, zbiór wartości własnych). Rozumie problem diagonalizowalności przekształceń. Umie znajdować podprzestrzenie własne i postać kanoniczną Jordana nad C.

2. Zna pojęcie iloczynu skalarnego, bazy ortonormalnej. Umie przeprowadzić ortogonalizację Grama-Schmidta. Umie zastosować kryterium Sylvestera. Zna definicję objętości równoległoboku i iloczynu wektorowego. Umie sprawdzić czy przekształcenie liniowe jest izometrią.

3. Wie co to są przekształcenia samosprzężone i umie je diagonalizować bazami ortormalnymi.

4. Poznał pojęcie iloczynu hermitowskiego i umie podać dowód diagonalizowalności przekształceń unitarnych.

5. Umie badać formy dwuliniowe, znajdować bazy prostopadłe. Umie sklasyfikować formy 2-liniowe nad R ze względu na relację kongruencji.

6. Zna pojęcie przestrzeni afinicznej i przekształcenia afinicznego. Umie posługiwać się kombinacjami afinicznymi, znajdować bazy punktowe.

7. Zna definicję euklidesowej przestrzeni afinicznej oraz pojęć z nią związanych: odległości, miary równoległościanów.

8. Poznał początkowe pojęcia geometrii zbiorów algebraicznych takie jak wielomian, funkcja wielomianowa, hiperpowierzchnia, stopień hiperpowierzchni. Umie sklasyfikować hiperpowierzchnie afiniczne stopnia 2 w C^n i w R^n. Zna opis przypadków R^2 i R^3.

Ocena z przedmiotu będzie zależała od wyników pracy na ćwiczeniach, wyników kolokwiów w trakcie semestru, wyniku egzaminu pisemnego i ustnego. Szczegółowe zasady oceny są podane w informacjach dotyczących odpowiedniego cyklu dydaktycznego.