Geometria różniczkowa I

fakultatywne

Wykład ma stanowić wprowadzenie do podstawowych pojęć geometrii różniczkowej. Punktem wyjścia jest abstrakcyjna definicja rozmaitości różniczkowej, po czym następuje wprowadzenie podstawowych struktur różniczkowych na niej: przestrzeni stycznej, pól wektorowych, nawiasu Liego, form różniczkowych, wiązki

stycznej i kostycznej, struktury Riemanna. Zasadniczym punktem odniesienia do omawianych pojęć i źrodłem większości przykładów i zadań na ćwiczenia są powierzchnie w R^3.

Wykład jest przeznaczony dla studentów, którzy przeszli zajęcia GAL-u oraz 4 semestry analizy.

Zaliczenie przedmiotu - na podstawie prac domowych, kolokwium i egzaminu pisemnego oraz ustnego.

Plan wykładu.

1. Rozmaitości różniczkowe: mapy, atlasy, parazwartość, rozkład jedności. Odwzorowania rozmaitości, podrozmaitości.

Przykłady: powierzchnie w R^3, ilorazy (torus, rzeczywista przestrzeń rzutowa), zespolone przestrzenie rzutowe, grupy Liego. (2 wyklady)

2. Przestrzeń styczna: wektory styczne jako kierunki krzywych i jako różniczkowania. Odwzorowanie styczne (pochodne) dla odwzorowania

rozmaitości. Wiązka styczna, kostyczna, wiązki wektorowe. Cięcia wiązek, pola wektorowe, nawias Liego pól wektorowych. Formy różniczkowe, algebra form różniczkowych, pochodna zewnętrzna. (2-3 wykłady)

3. a) Rozmaitości orientowalne, rozmaitości z brzegiem, twierdzenie Stokes'a na rozmaitościach. (1-2 wykłady)

3. b) 1-parametrowe grupy diffeomorfizmów, całkowanie pól wektorowych, pochodna Liego pola wektorowego, związek z nawiasem Liego. Twierdzenie Frobeniusa.

(1-2 wykłady)

4. Rozmaitości Riemanna, krzywe na nich (długość, katy), przesunięcie równoległe, geodezyjne.

Przykłady: R^n i podrozmaitości (sfera), płaszczyzna Lobaczewskiego. (2 wykłady)

5. Powierzchnie w R^3: Odwzorowanie Gaussa, przekształcenie Weingartena, II forma, krzywizny główne, krzywizna Gaussa. Współczynniki Christoffela i theorema egregium. Krzywe na powierzchniach, krzywizna geodezyjna, przeniesienie równoległe i geodezyjne, defekt trojkata. Twierdzenie Gaussa-Bonneta. (3-4 wykł.)

1. R. Pol, Geometria różniczkowa 1, skrypt dostępny w powielarni MIMUW

2. C.Bowszyc, J.Konarski, Wstęp do geometrii różniczkowej, WUW 2007

3. J.Gancarzewicz, B.Opozda, Wstęp do geometrii różniczkowej, WUJ 2003

4. T.Aubin, A course in Differential Geometry, AMS 2001

5. J.Oprea, Differential Geometry and its Applications, Prentice Hall, 1997

Student

1. zna pojęcia rozmaitości i podrozmaitości gładkiej, atlasu, mapy i lokalnego układu współrzędnych. Potrafi konstruować atlas dla sfery, torusa oraz prostych rozmaitości związanych z zagadnieniami algebry liniowej (przestrzenie rzutowe, grassmanniany). Potrafi konstruować przestrzenie rzutowe, torus i butelkę Kleina za pomocą konstrukcji ilorazowej;

2. zna definicje odwzorowania gładkiego, immersji, submersji i dyfeomorfizmu, oraz równoważne charakteryzacje podrozmaitości. Potrafi znajdować zbiory punktów i wartości regularnych i krytycznych odwzorowań;

3. zna pojęcie wektora stycznego i formy różniczkowej w punkcie, oraz pola wektorowego i formy różniczkowej jako przekrojów wiązki stycznej i kostycznej. Rozumie równoważność definicji wektora stycznego jako klasy równoważności sparametryzowanych krzywych stycznych w punkcie i jako różniczkowania algebry funkcji gładkich w punkcie, oraz pola wektorowego stycznego jako różniczkowania algebry funkcji gładkich. Potrafi znajdować afiniczną przestrzeń styczną do podrozmaitości przestrzeni afinicznej. Rozumie związek między nawiasem Liego pól wektorowych i strukturą algebry Liego klasycznych grup Liego. Zna twierdzenie Frobeniusa;

4. potrafi wyznaczać pole wektora normalnego orientowalnej hiperpowierzchni sparametryzowanej i zadanej równaniem oraz stosować twierdzenie Stokesa;

5. zna pojęcie gładkiego rozkładu jedności i konstrukcję metryki Riemanna na rozmaitościach parazwartych oraz pierwszej formy podstawowej na

podrozmaitościach przestrzeni euklidesowych. Rozumie związek między geometrią wewnętrzną i zewnętrzną podrozmaitości w przestrzeni euklidesowej

i Theorema Egregium;

6. na rozmaitościach Riemanna potrafi obliczać kąt miedzy krzywymi i długość krzywej, znajdować geodezyjne i przeniesienie równoległe wektora wzdłuż krzywej. Zna modele Poincaré i Kleina geometrii nieeuklidesowej;

7. zna pojęcie charakterystyki Eulera powierzchni i potrafi ją obliczać za pomocą triangulacji. Potrafi stosować tw. Gaussa-Bonneta, w tym obliczać pola wielokątów geodezyjnych na powierzchniach stałej krzywizny;

8. rozumie związek lokalnych indeksów pola wektorowego i charakterystyki Eulera i potrafi stosować tw. Poincaré-Hopfa.