Analiza funkcjonalna I

Informacje ogólne

Kod przedmiotu:	1000-135AF1
Kod Erasmus / ISCED:	11.153 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu:	Analiza funkcjonalna I
Jednostka:	Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy:
Punkty ECTS i inne:	(brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS: roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS; tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h; 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się; tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS; nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta. zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia:	angielski
Rodzaj przedmiotu:	fakultatywne
Skrócony opis:	Zapoznanie z podstawowymi pojęciami, twierdzeniami i metodami liniowej analizy funkcjonalnej.
Pełny opis:	1. Definicja przestrzeni Banacha, przestrzenie ciągowe, przestrzenie C(K), przestrzenie funkcji całkowalnych z p-tą potęgą - zupełność, przypomnienie nierówności Hoeldera i Minkowskiego. Pojęcie funkcjonału liniowego i jego normy. Przykłady. (2-3 wykłady) 2. Przestrzeń Hilberta, układy i bazy ortonormalne, twierdzenie o rzucie ortogonalnym. Przykłady baz ortonormalnych: układ trygonometryczny, układ Haara, falki. Postać funkcjonału liniowego na przestrzeni Hilberta. (2-3 wykłady) 3. Operatory liniowe, norma operatora. Przykłady ważnych operatorów: np. operator średniej warunkowej i twierdzenie Radona-Nikodyma, transformata Fouriera i twierdzenie Plancherela. (1-3 wykłady) 4. Operatory sprzężone na przestrzeni Hilberta. Operatory unitarne. Diagonalizacja operatora zwartego i samosprzężonego. (2-3 wykłady) 5. Twierdzenie Banacha-Steinhausa i jego zastosowania, twierdzenie Hahna-Banacha i twierdzenia o oddzielaniu. (2-3 wykłady) 6. Ponadto, mogą zostać omówione następujące tematy: Przestrzenie sprzężone do przestrzeni Banacha, w szczególności przestrzenie sprzężone do przestrzeni C(K) i przestrzeni funkcji całkowalnych z p-tą potęgą. Operatory sprzężone na przestrzeniach Banacha. Twierdzenie o wykresie domkniętym i odwzorowaniu otwartym.
Literatura:	W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 1986. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1976. W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1982 (wyd. 2).
Efekty uczenia się:	Wiedza i umiejętności: 1. Zna definicję i własności przestrzeni Banacha, przestrzeni ciągowych, przestrzeni C(K), przestrzeni funkcji całkowalnych z p-tą potęgą, nierówności Hoeldera i Minkowskiego, pojęcie funkcjonału liniowego i jego normy. 2. Zna definicję i własności przestrzeni Hilberta, układu i bazy ortonormalnej, twierdzenie o rzucie ortogonalnym, przykłady baz ortonormalnych: układ trygonometryczny, układ Haara, falki, postać funkcjonału liniowego na przestrzeni Hilberta. 3. Zna definicje i własności operatorów liniowych, normy operatora, przykłady ważnych operatorów: np. operator średniej warunkowej i twierdzenie Radona-Nikodyma, transformatę Fouriera i twierdzenie Plancherela. 4. Zna definicje i własności operatorów sprzężonych na przestrzeni Hilberta, operatorów unitarnych, Twierdzenie o diagonalizacji operatora zwartego i samosprzężonego. 5. Zna twierdzenia Banacha-Steinhausa i jego zastosowania, twierdzenie Hahna-Banacha i twierdzenia o oddzielaniu. 6. Zna definicję i własności przestrzeni sprzężonej do przestrzeni Banacha, w szczególności przestrzeni sprzężonej do przestrzeni C(K) i przestrzeni funkcji całkowalnych z p-tą potęgą, operatora sprzężonego na przestrzeniach Banacha, preliminaria słabej i słabej z gwiazdką zbieżności, twierdzenie o wykresie domkniętym i odwzorowaniu otwartym. 7. Posiada umiejętności konstruowania rozumowań matematycznych: dowodzenia twierdzeń, jak i obalania hipotez poprzez konstrukcje i dobór kontrprzykładów. Kompetencje społeczne: 1. Rozumie znaczenie analizy funkcjonalnej jako abstrakcyjnego narzędzia w innych działach matematyki. 2. Posługuje się językiem oraz metodami analizy funkcjonalnej w zagadnieniach analizy matematycznej i jej zastosowaniach.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.