Optymalizacja II

fakultatywne

Metody znajdowania ekstremów (minimów i maksimów) funkcji wielu zmiennych na zbiorach zadanych przez układ równości i nierówności nieliniowych. Metoda mnożników Lagrange'a, warunki Kuhna-Tuckera, techniki dualne. Szczególną uwagę poświęcimy optymalizacji wypukłej.

Przedmiot wykładu, zadanie optymalizacji nieliniowej w n wymiarach. Przykłady modeli praktycznych. Podstawowe wiadomości o zbiorach wypukłych. Twierdzenie o hiperpłaszczyźnie rozdzielającej i podpierającej. (2--3 wykłady)

Podstawowe wiadomości o funkcjach wypukłych. Funkcje wypukłe jedno i dwukrotnie różniczkowalne. Gradient i subgradient. Funkcje quasi- i pseudowypukłe. Zbiory podwarstwicowe, minima. (2--3 wykłady)

Struktura zbioru dopuszczalnego, kierunki dopuszczalne i poprawiające. Warunki konieczne i dostateczne optymalności. Funkcja Lagrange'a. Warunek konieczny Fritza Johna. Warunki konieczne i dostateczne

Kuhna i Tuckera. Warunki regularności. Warunki równowagi. (3--4 wykłady)

Zadania dualne i twierdzenia o dualności. Punkty siodłowe funkcji Lagrange'a, ich związki z dualnością i równaniem Kuhna-Tuckera. Liniowe zadanie komplementarności, metoda Lemkego, zastosowania

w programowaniu kwadratowym. Rozwiązywanie zadań programowania kwadratowego. (3--4 wykłady)

Metody rozwiązywania zadań programowania nieliniowego. Minimalizacja bezwarunkowa nieliniowej funkcji jednej i wielu zmiennych. Przykłady metod gradientowych, gradientów sprzeżonych i metod typu metody Newtona. Przykłady metod dla zadań warunkowych: metody kierunków dopuszczalnych, zasada funkcji

karnych i barierowych, metody losowe. (2--4 wykłady)

A.L. Peresini, F.E. Sullivan, J.J Uhl, The mathematics of nonlinear programming. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1988

M.S. Bazaraa, H.D. Sherali, C.M. Shetty, Nonlinear Programming; Theory and Algorithms. John Wiley and Sons, 1993.

W.I. Zangwill, Programowanie nieliniowe. WNT, Warszawa 1974.

M.D. Canon, C.D. Cullum, E. Polak, Sterowanie optymalne i programowanie matematyczne. WNT, Warszawa 1975.

Wiedza i umiejętności:

1. wie na czym polega zadanie optymalizacji nieliniowej w n wymiarach;

2. zna podstawowe własności zbiorów wypukłych, zna twierdzenie o hiperpłaszczyźnie rozdzielającej i podpierającej;

3. zna podstawowe własności funkcji wypukłych, zna pojęcie gradientu i subgradientu funkcji wypukłej, wie co to są funkcje quasi- i pseudowypukłe;

4. umie znajdować ekstrema funkcji wielu zmiennych, wie co to jest funkcja Lagrange'a oraz jak ją wykorzystujemy przy znajdowaniu ekstremów funkcji wielu zmiennych;

5. wie jak formułuje się problem znajdowania ekstremów funkcji wypukłej z ograniczeniami, zna warunki konieczne i dostateczne istnienia rozwiązania tego problemu;

6. zna twierdzenie Kuhna-Tuckera, umie je wykorzystać w przypadku ograniczeń nierównościowych;

7. wie co to jest zadanie dualne, zna twierdzenia o dualności, wie co to jest liniowe zadanie komplementarności, umie wykorzystać te pojęcia do rozwiązywania zadań programowania kwadratowego;

8. zna podstawowe metody numeryczne rozwiązywania zadań programowania nieliniowego: metody gradientowe, metodę gradientów sprzężonych i metody typu metody Newtona, zna przykłady metod dla zadań warunkowych.

Kompetencje społeczne:

1. rozumie znaczenie metod optymalizacji nieliniowej w rozwiązywaniu ważnych problemów praktycznych.