Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Równania różniczkowe cząstkowe

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135RRC Kod Erasmus / ISCED: 11.143 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Równania różniczkowe cząstkowe
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 2 stopnia na matematyce
Przedmioty fakultatywne na matematyce
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Założenia (opisowo):

Wskazane jest przejście podstawowego kursu Analizy funkcjonalnej, przynajmniej równolegle.

Skrócony opis:

Wykład stanowi wprowadzenie do teorii liniowych równań różniczkowych cząstkowych. Pierwsza część wykładu koncentruje się na klasycznej teorii równań pierwszego i drugiego rzędu. Druga część stanowi wprowadzenie do nowoczesnych metod: teorii przestrzeni Sobolewa i teorii słabych rozwiązań równań eliptycznych. Wykład nie wymaga wcześniejszego przygotowania z teorii równań różniczkowych cząstkowych. Wskazane jest natomiast przejście podstawowego kursu Analizy funkcjonalnej, przynajmniej równolegle. Pewne zagadnienia omawiane na wykładzie Wstęp do równań różniczkowych cząstkowych zostaną omówione szerzej, dotyczy to przede wszystkim teorii słabych rozwiązań, pojawią się także elementy teorii równań nieliniowych.

Pełny opis:

Przykłady równań różniczkowych cząstkowych, związki z fizyką i innymi dziedzinami nauki. Równania różniczkowe I rzędu, informacja o metodzie charakterystyk (2 wykłady).

Równanie Laplace'a, funkcje harmoniczne. Rozwiązanie podstawowe, reprezentacja rozwiązań za pomocą funkcji Greena. Własność wartości średniej, zasady maksimum i ich zastosowania (2 wykłady).

Transformata Fouriera - definicja i podstawowe własności. Przykłady zastosowań do liniowych RRC. (1 wykład)

Elementy teorii dystrybucji i przestrzeni Sobolewa. Pojęcie i podstawowe własności słabej pochodnej, aproksymacja funkcjami gładkimi, twierdzenia o zanurzeniu i o śladzie. Twierdzenie Rellicha-Kondraszowa. (3 wykłady)

Słabe rozwiązania zagadnień eliptycznych. Twierdzenie Laxa-Milgrama i jego zastosowania. Metoda Galerkina. Alternatywa Fredholma, elementy teorii spektralnej. (3 wykłady).

Wprowadzenie do teorii regularności dla równań eliptycznych (1 wykład).

Przykłady zastosowań twierdzeń o punkcie stałym oraz metody Galerkina do równań nieliniowych (1-2 wykłady).

Literatura:

L.C.Evans, Równania różniczkowe cząstkowe. PWN, Warszawa 2002

D.Gilbarg, N.S.Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order. Springer-Verlag, Berlin 1983

Efekty uczenia się:

Student:

1. Zna podstawowe własności operatora Laplace'a i funkcji harmonicznych

2. Zna definicję i podstawowe własności transformaty Fouriera i przykłady jej zastosowań w teorii równań różniczkowych cząstkowych.

3. Zna pojęcie słabej pochodnej i podstawowe własności przestrzeni Sobolewa.

4. Zna podstawowe wersje twierdzeń o śladzie i zanurzeniu dla przestrzeni Sobolewa oraz nierówności typu Poincare. Potrafi używać ich w oszacowaniach dla liniowych równań cząstkowych.

5. Potrafi stosować tw. Laxa-Milgrama w dowodach istnienia słabych rozwiązań równań eliptycznych.

6. Zna metodę Galerkina i jej podstawowe zastosowania w teorii RRCz.

6. Zna podstawowe twierdzenia o punkcie stałym i proste przykłady ich zastosowań do równań nieliniowych.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2019/20" (zakończony)

Okres: 2019-10-01 - 2020-01-27
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Tomasz Piasecki
Prowadzący grup: Tomasz Piasecki
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2020/21" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2020-10-01 - 2021-01-27
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Anna Zatorska-Goldstein
Prowadzący grup: Łukasz Chomienia, Anna Zatorska-Goldstein
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.