Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Wstęp do układów dynamicznych

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135WUD Kod Erasmus / ISCED: (brak danych) / (brak danych)
Nazwa przedmiotu: Wstęp do układów dynamicznych
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 1 stopnia na matematyce
Przedmioty fakultatywne na matematyce
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Skrócony opis:

Wykład stanowi wprowadzenie w niektóre zagadnienia teorii układów dynamicznych na podstawie analizy przykładowych modeli. Opisana jest m.in. dynamika przekształceń na odcinku, okręgu, torusie i płaszczyźnie zespolonej.

Pełny opis:

1. Dynamika przekształceń odcinka na przykładzie rodziny kwadratowej – sprzężenie, hiperboliczność, dynamika symboliczna, twierdzenie Szarkowskiego.

2. Homeomorfizmy okręgu – liczba obrotu, twierdzenie Denjoy’a, strukturalna stabilność, własność Morse’a–Smale’a.

3. Dynamika przekształceń torusa – przesunięcia, algebraiczne automorfizmy, rozbicie Markowa.

4. Układy chaotyczne – podkowa Smale’a, przykłady atraktorów, solenoidy, rozmaitości stabilne i niestabilne, hiperboliczność.

5. Miary niezmiennicze, twierdzenie Poincarego o powracaniu, ergodyczność, entropia.

6. Przykłady bilardów – bilard w wielokącie i elipsie.

7. Dynamika holomorficzna – zbiory Julii, zespolona rodzina kwadratowa, zbiór Mandelbrota, zespolona metoda Newtona.

8. Wymiar Hausdorffa i fraktale.

Literatura:

1. A. Boyarsky and P. Góra, Laws of chaos. Invariant measures and dynamical systems in one dimension, Birkhauser, 1997.

2. R. Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, Westview Press, 2003.

3. B. Hasselblatt, A. Katok, A first course in dynamics. With a panorama of recent developments, Cambridge University Press, 2003.

4. M. Pollicott and M. Yuri, Dynamical systems and ergodic theory, Cambridge University Press, 1998l.

5. C. Robinson, Dynamical systems. Stability, symbolic dynamics and chaos, CRC Press, 1998.

6. W. Szlenk, Wstęp do teorii gładkich układów dynamicznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982.

Efekty uczenia się:

1. Znajomość podstawowych pojęć teorii układów dynamicznych (układ dynamiczny, trajektoria, zbiór graniczny, sprzężenie).

2. Iteracje przekształceń odcinka: znajomość twierdzenia Szarkowskiego, znajomość podstawowych informacji o rodzinie kwadratowej (logistycznej).

3. Dynamika homeomorfizmów okręgu: znajomość pojęcia liczby obrotu i jej własności, znajomość twierdzenia Denjoy’a.

4. Dynamika przekształceń torusa: znajomość podstawowych informacji o algebraicznych automorfizmach torusa.

5. Chaotyczne układy dynamiczne: znajomość twierdzenia Hadamarda-Perrona i definicji rozmaitości stabilnych i niestabilnych, układu hiperbolicznego i atraktora, znajomość pojęcia kodowania dla podkowy Smale’a, umiejętność jakościowego przeanalizowania prostych przykładów gładkich układów dynamicznych.

6. Teoria ergodyczna układów dynamicznych: znajomość definicji miary niezmienniczej i pojęcia ergodyczności, znajomość podstawowych przykładów układów zachowujących miarę, znajomość twierdzenia Poincarego o powracaniu.

7. Dynamika holomorficzna: znajomość pojęcia zbioru Julii i zbioru Mandelbrota, znajomość podstawowych przykładów dynamiki przekształceń holomorficznych.

Metody i kryteria oceniania:

Rozwiązywanie zadań domowych i przedstawianie ich na ćwiczeniach. Egzamin pisemny – kilka zadań dotyczących podstawowych własności i przykładów układów dynamicznych. W razie potrzeby egzamin ustny.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2020/21" (w trakcie)

Okres: 2021-02-22 - 2021-06-13
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Krzysztof Barański
Prowadzący grup: Krzysztof Barański
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Uwagi:

Zgodnie z zarządzeniem Rektora UW i zaleceniami Dziekana MIM UW, wykład i ćwiczenia będą odbywać się zdalnie w formie wideokonferencji na platformie Zoom, a ogłoszenia i materiały zamieszczane będą na platformie Moodle MIM UW. Dane kursu w Moodle:

Nazwa: Wstęp do układów dynamicznych 2020/21 semestr letni (WUD-2020/21L)

Adres: https://moodle.mimuw.edu.pl/course/view.php?id=593

Uwaga! W przypadku pojawienia się nowych zarządzeń władz uniwersyteckich i wydziałowych zasady te mogą ulec zmianie.

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.