University of Warsaw - Central Authentication System

Mathematical analysis II.1*

General data

Course ID:	1000-113bAM3*
Erasmus code / ISCED:	11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Mathematics The ISCED (International Standard Classification of Education) code has been designed by UNESCO.
Course title:	Mathematical analysis II.1*
Name in Polish:	Analiza matematyczna II.1 (potok *)
Organizational unit:	Faculty of Mathematics, Informatics, and Mechanics
Course groups:	Obligatory courses for 2nd grade JSEM Obligatory courses for 2nd grade JSIM (3I+4M) Obligatory courses for 2nd grade JSIM (3M+4I) Obligatory courses for 2rd grade Mathematics
ECTS credit allocation (and other scores):	10.00 Basic information on ECTS credits allocation principles: the annual hourly workload of the student’s work required to achieve the expected learning outcomes for a given stage is 1500-1800h, corresponding to 60 ECTS; the student’s weekly hourly workload is 45 h; 1 ECTS point corresponds to 25-30 hours of student work needed to achieve the assumed learning outcomes; weekly student workload necessary to achieve the assumed learning outcomes allows to obtain 1.5 ECTS; work required to pass the course, which has been assigned 3 ECTS, constitutes 10% of the semester student load. view allocation of credits
Language:	Polish
Main fields of studies for MISMaP:	mathematics physics
Type of course:	obligatory courses
Prerequisites (description):	(in Polish) Oczekuje się dobrej znajomości zagadnień ujętych w sylabusach przedmiotów Analiza matematyczna I.2 oraz Wstęp do matematyki.
Short description:	Multivariable differential calculus, measure and integration theory. This is an extended course and therefore it may be harder and more comprehensive than the normal course of Mathematical Analysis II.1.
Full description:	Linear and topological structure of Euclidean spaces; transformations, continuity. Calculus in several variables: directional derivative, differentiability, higher-order derivatives, symmetry od the second and higher order differentials, Taylor's formula, the implicit function theorem, local extrema. Manifolds in R^n, tangent spaces, local parametrizations and maps, manifolds defined by a system of equations, normal vectors. Constrained maxima and minima, Lagrange multipliers with examples.The concept of measure; outer measure and Caratheodory's theorem. Lebesgue measure; measurable functions, Lebesgue integral. Lebesgue monotone convergence theorem, Lebesgue bounded convergence theorem, the Fatou lemma. Fubini's theorem, change of variables under the integral.
Bibliography:	M.Spivak, Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus W.A. Benjamin, L.Bers, Calculus W.Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Science Engineering W.Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, New York, 1966. xi+412 pp.
Learning outcomes:	(in Polish) 1. Zna pojęcia pochodnej kierunkowej, pochodnej cząstkowej, różniczki zupełnej (pochodnej odwzorowania) i macierzy Jacobiego odwzorowania; rozumie związki między tymi pojęciami i zna ich najważniejsze własności algebraiczne i analityczne. Potrafi badać ciągłość i różniczkowalność funkcji wielu zmiennych. Operuje przykładami, ilustrującymi związki między pochodnymi cząstkowymi i pochodną odwzorowania. W przykładach potrafi badać różniczkowalność odwzorowań określonych na przestrzeniach nieskończonego wymiaru. 2. Zna twierdzenie Schwarza o symetrii drugiej różniczki i wzór Taylora oraz warunki dostateczne ekstremów lokalnych funkcji wielu zmiennych. Potrafi wyznaczać kresy funkcji, określonych na różnych podzbiorach przestrzeni euklidesowej. Potrafi określać charakter punktu krytycznego funkcji klasy C^2. 3. Zna twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikłanej oraz pojęcie rozmaitości zanurzonej i pojęcie dyfeomorfizmu. 4. Potrafi opisać jawnymi wzorami dyfeomorfizm między nieskomplikowanymi podzbiorami płaszczyzny (przestrzeni trójwymiarowej). Rozpoznaje przykłady rozmaitości zanurzonych; potrafi uzasadnić, że zbiór opisany konkretnymi równaniami jest (lub nie jest) rozmaitością. 5. Zna metodę mnożników Lagrange'a. Wyznacza ekstrema lokalne związane funkcji wielu zmiennych rzeczywistych. 6. Zna podstawowe pojęcia teorii miary i całki, w tym twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej i zmajoryzowanej, twierdzenie o zmianie kolejności całkowania i o całkowaniu przez podstawienie. Posługuje się twierdzeniami o zbieżności zmajoryzowanych i zbieżności monotonicznej (a) do badania granic całek, zależnych od parameteru, (b) badając ciągłość i różniczkowalność funkcji określonych za pomocą całek zależnych od parametru. Potrafi podać przykłady, świadczące o istotności założeń w tych twierdzeniach. 7. Zna i potrafi zastosować twierdzenie Sarda. 8. Rozumie różnice pomiędzy teorią całki Riemanna oraz całki Lebesgue'a; potrafi wykazać zupełność różnych przestrzeni funkcyjnych z daną normą całkową.
Assessment methods and assessment criteria:	Two partial exams, final exam and points for activity during classes. Oral exam in doubts. The proposed grade may be improved on the oral exam.

Classes in period "Winter semester 2023/24" (past)

Time span:	2023-10-01 - 2024-01-28	Selected timetable range: weekly course term Navigate to timetable MO TU CW WYK W TH FR CW WYK
Type of class:	Classes, 60 hours more information Lecture, 60 hours more information
Coordinators:	Michał Jóźwikowski
Group instructors:	Michał Jóźwikowski
Students list:	(inaccessible to you)
Examination:	Course - Examination Lecture - Examination

Classes in period "Winter semester 2024/25" (future)

Time span:	2024-10-01 - 2025-01-26	Selected timetable range: weekly course term Navigate to timetable
Type of class:	Classes, 60 hours more information Lecture, 60 hours more information
Coordinators:	Marcin Bobieński
Group instructors:	Marcin Bobieński, Henryk Żołądek
Students list:	(inaccessible to you)
Examination:	Course - Examination Lecture - Examination

Course descriptions are protected by copyright.
Copyright by University of Warsaw.