Topology I
General data
Course ID: | 1000-113bTP1a |
Erasmus code / ISCED: |
11.1
|
Course title: | Topology I |
Name in Polish: | Topologia I (potok 1) |
Organizational unit: | Faculty of Mathematics, Informatics, and Mechanics |
Course groups: |
Obligatory courses for 2nd grade JSEM Obligatory courses for 2nd grade JSIM (3I+4M) Obligatory courses for 2nd grade JSIM (3M+4I) Obligatory courses for 2rd grade Mathematics |
ECTS credit allocation (and other scores): |
7.50
|
Language: | Polish |
Type of course: | obligatory courses |
Prerequisites (description): | (in Polish) Oczekuje się dobrej znajomości zagadnień ujętych w sylabusach przedmiotu Wstęp do matematyki. |
Short description: |
This course presents basic notions of topology: metric and topological spaces, continuous maps, homeomorphisms, Cartesian products, complete metric spaces, compactness, connectedness and path connectedness, homotopy of maps and loops, contractibility, quotient spaces. |
Full description: |
1. Metric spaces. Topology of metric spaces. Topological spaces. Base of a topology. Interior and closure of a set, subspaces. Hausdorff spaces. Continuous mappings, characterizations of continuity. Homeomorphisms. Tietze Theorem on extensions of mappings (for metrizable spaces). Cartesian products of topological spaces. Separable spaces. (3 lectures) 2. Compact spaces. Conditions equivalent to compactness in metrizable spaces. Compact subsets of Euclidean spaces. Continuous mappings on compact spaces. Weierstrass Theorem. A continuous bijection from a compact space to a Hausdorff space is a homeomorphism. Uniform continuity. The Cantor set. Tychonoff Theorem on compactness of Cartesian products of compact spaces (proof for finite products). (3 lectures) 3. Complete metric spaces. If a metric space $Y$ is complete then the space of bounded continuous functions $C_{b}(X,Y)$ equipped with the sup metric is complete. Banach Fixed Point Theorem. Baire Theorem. Metric space is compact iff it is complete and totally bounded. Ascoli-Arzeli Theorem. (2 lectures) 4. Connected spaces. Path connectedness. Components and path components. (1 lecture) 5. Homotopic mappings. Contractible spaces. Homotopic loops. Simply connected spaces. Proof of the noncontractibility of the circle. Corollaries: there is no retraction from a disc onto its boundary circle, Brouwer Fixed Point Theorem for dimension 2. Proof of the Fundamental Theorem of Algebra. (3 lectures) 6. Quotient spaces. Attaching a space $Y$ to $X$ along $A subset Y$ via $f : A to X$. Two-dimensional manifolds. Examples of surfaces obtained by identification of edges of regular polygons. (2 lectures). |
Bibliography: |
1. J. Dugundji, Topology, Allyn and Bacon, Inc., Boston, 1966. 2. R. Engelking, K. Sieklucki, Topology. A Geometric Approach, Heldermann Verlag, Berlin, 1992. 3. K. Janish, Topology, Springer Verlag, New York, 1990. |
Learning outcomes: |
(in Polish) 1. Posiada umiejętność wprowadzania topologii w zbiorze przy pomocy zadania metryki, lub rodzin podzbiorów spełniających określone warunki. Umie znajdować domknięcia i wnętrza podzbiorów przestrzeni topologicznych i metrycznych. 2. Umie stosować różne kryteria ciągłości do zbadania, czy zadane przekształcenie jest ciągłe i czy jest homeomorfizmem. 3. Zna sposoby definiowania przestrzeni topologicznych przy pomocy konstrukcji podprzestrzeni, iloczynu kartezjańskiego, przestrzeni ilorazowej i sumy prostej. Rozpoznaje te konstrukcje w przykładach geometrycznych. 4. Potrafi rozpoznać własności zwartości, spójności i łukowej spójności przestrzeni topologicznej i metrycznej. Umie wykorzystać te własności do rozstrzygania czy przestrzenie są homeomorficzne. 5. Zna podstawowe przykłady przestrzeni zwartych, w tym zbiór Cantora i twierdzenia dotyczące zwartości, w tym twierdzenie Tichonowa i twierdzenie Weierstrassa. 6. Potrafi rozstrzygnąć o zupełności przestrzeni metrycznej i zna pojęcie metryzowalności w sposób zupełny. Zna twierdzenie Banacha i twierdzenie Baire’a. Umie konstruować obiekty o specjalnych własnościach przy pomocy Twierdzenie Baire’a. 7. Potrafi rozpoznać kiedy dwa przekształcenia są homotopijne. Odróżnia przestrzenie ściągalne od nieściągalnych. Zna twierdzenie o nieściągalności okręgu i jego zastosowania. |
Assessment methods and assessment criteria: |
(in Polish) Przedmiot kończy się egzaminem |
Classes in period "Winter semester 2023/24" (past)
Time span: | 2023-10-01 - 2024-01-28 |
Navigate to timetable
MO TU CW
CW
W WYK
CW
CW
CW
TH CW
CW
CW
FR CW
CW
|
Type of class: |
Classes, 45 hours
Lecture, 30 hours
|
|
Coordinators: | Stanisław Betley | |
Group instructors: | Stanisław Betley, Jakub Koncki, Daria Michalik, Wojciech Politarczyk | |
Students list: | (inaccessible to you) | |
Examination: |
Course -
Examination
Lecture - Examination |
Classes in period "Winter semester 2024/25" (future)
Time span: | 2024-10-01 - 2025-01-26 |
Navigate to timetable
MO TU W TH FR |
Type of class: |
Classes, 45 hours
Lecture, 30 hours
|
|
Coordinators: | Karol Szumiło | |
Group instructors: | Daniel Hoffmann, Oskar Kędzierski, Daria Michalik, Wojciech Politarczyk, Mirosław Sobolewski, Karol Szumiło | |
Students list: | (inaccessible to you) | |
Examination: |
Course -
Examination
Lecture - Examination |
Copyright by University of Warsaw.