(in Polish) Elementy analizy rzeczywistej

Splot funkcji i jego zastosowania do aproksymacji. Szeregi Fouriera i badanie ich zbieżności. Przestrzeń Schwartza i transformata Fouriera. Funkcja maksymalna Hardy’ego-Littlewooda. Funkcje monotoniczne, o wahaniu ograniczonym i absolutnie ciągłe. Funkcje lipszycowskie: ich rozszerzenia i własności aproksymacyjne. Przykłady powiązań pomiędzy teorią równań cząstkowych, teorią aproksymacji, analizą harmoniczną i zespoloną oraz teorią interpolacji.

1. Sploty, przestrzenie L^p Lebesgue'a i nierówność Younga. Własności regularyzacyjne splotu, zastosowanie do przybliżania funkcjami gładkimi.

2. Szeregi Fouriera: definicja, kryteria zbieżności punktowej (Diniego, Lipschitza, Dirichleta). Zbieżność w L^2 i twierdzenie Plancherela. Zastosowania w równaniach różniczkowych.

3. Przestrzeń Schwartza S, transformata Fouriera na S, L^1 i L^2. Przykłady zastosowań w równaniach różniczkowych.

4. Funkcja maksymalna Hardy'ego-Littlewooda i twierdzenie Lebesgue'a o różniczkowaniu.

5. Różniczkowalność funkcji monotonicznych jednej zmiennej, funkcje o wahaniu ograniczonym i funkcje absolutnie ciągłe.

6. Funkcje lipszycowskie: twierdzenie Kirszbrauna i twierdzenie Rademachera. Twierdzenie Stiepanowa.

7. Elementy teorii interpolacji. Przykłady związków z analizą zespoloną, harmoniczną oraz funkcjonalną.

1. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 3, PWN, Warszawa 2007.

2. L. Grafakos, Classical Fourier analysis. Third edition, Graduate Texts in Mathematics, 249, Springer, New York 2014.

3. T. W. Körner, Fourier analysis. Second edition, Cambridge University Press, Cambridge 1989.

4. S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1973.

5. H. Royden, P. Fitzpatrick, Real analysis. Third edition, Macmillan Publishing Company, New York 1988.

6. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 2009.

7. E. M. Stein, R. Shakarchi, Fourier analysis: An introduction, Princeton University Press, Princeton 2003.

8. E. M. Stein, R. Shakarchi, Real analysis: Measure theory, integration, and Hilbert spaces, Princeton University Press,

Princeton 2005.

Student:

1. Zna podstawowe własności przestrzeni L^p i ilustruje je na przykładach. Potrafi opisać związki między tymi przestrzeniami a przestrzenią funkcji ciągłych. Operuje pojęciem splotu i zna jego kluczowe własności.

2. Potrafi rozwijać funkcje w szereg Fouriera, umie badać zbieżność punktową oraz zbieżność w L^2 takiego szeregu. Zna przykłady zastosowań szeregów Fouriera oraz rozumie ich znaczenie w równaniach różniczkowych.

3. Dysponuje wiedzą dotyczącą podstawowych własności transformaty Fouriera na klasie Schwarza S oraz przestrzeniach L^1, L^2. Podaje zastosowania tego narzędzia, m.in. do rozwiązywania równań różniczkowych.

4. Zna twierdzenie Lebesgue'a o różniczkowaniu i podstawowe lematy pokryciowe. Potrafi wskazać podstawowe własności operatora maksymalnego Hardy'ego-Littlewooda (np. ograniczoność w różnych przestrzeniach funkcyjnych) i ilustruje je na przykładach.

5. Umie wykazać różniczkowalność funkcji monotonicznej jednej zmiennej. Potrafi badać własności funkcji o wahaniu ograniczonym oraz funkcji absolutnie ciągłych i podać ich przykłady.

6. Zna podstawowe własności funkcji lipszycowskich. Potrafi badać zagadnienia związane z różniczkowalnością oraz rozszerzalnością dziedziny takich obiektów, podając stosowne przykłady i kontrprzykłady.

7. Rozumie znaczenie struktur i metod analizy jako narzędzi służących do badania złożonych modeli matematycznych.

8. Potrafi podać przykładowe powiązania pomiędzy różnymi działami analizy.

Ocena z przedmiotu będzie wystawiona na podstawie oceny z ćwiczeń oraz egzaminu.