Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Analiza matematyczna II.1 (potok 1)

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-113bAM3a Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Analiza matematyczna II.1 (potok 1)
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty obowiązkowe dla II roku (3. semestr) JSIM - wariant 3I+4M
Przedmioty obowiązkowe dla II roku (3. semestr) JSIM - wariant 3M+4I
Przedmioty obowiązkowe dla II roku matematyki
Przedmioty obowiązkowe dla II roku matematyki specjalności MSEM
Punkty ECTS i inne: 10.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Kierunek podstawowy MISMaP:

fizyka
matematyka

Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowe

Skrócony opis:

Przedmiot składa się z dwóch części. Pierwsza obejmuje rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych, w tym twierdzenia o funkcji uwikłanej i odwrotnej, pojęcie rozmaitości zanurzonej w R^n i przestrzeni stycznej do rozmaitości, twierdzenie o mnożnikach Lagrange'a. Druga to wprowadzenie do teorii miary i całki Lebesgue'a, w tym konstrukcja miary Lebesgue'a, własności zbiorów i funkcji mierzalnych. Definicja całki Lebesgue'a, twierdzenia o zbieżności monotonicznej i zmajoryzowanej, lemat Fatou. Twierdzenie o zamianie zmiennych i twierdzenie Fubiniego.

Pełny opis:

Przedmiot składa się z dwóch części. Pierwsza obejmuje rachunek różniczkowy wielu zmiennych rzeczywistych, druga - wprowadzenie do teorii miary i całki Lebesgue'a. Część druga jest kontynuowana w ramach przedmiotu Analiza Matematyczna II.2.

Rachunek różniczkowy wielu zmiennych

1. Zbieżność ciągów w przestrzeni R^n , zbiory otwarte i domknięte. Odwzorowania liniowe w R^n i ich własności:

różnowartościowość, otwartość zbioru odwzorowań odwracalnych. Norma przekształcenia liniowego w R^n. Zbiory zwarte, spójne i łukowo spójne w R^n.

2. Odwzorowania ciągłe z podzbiorów R^n w R^k i ich podstawowe własności. Jednostajna ciągłość, odwzorowania lipszycowskie. Funkcje ciągłe na zbiorach zwartych i ich własności (twierdzenie Weierstrassa o kresach, twierdzenie o obrazie zbioru zwartego, twierdzenie Heine-Cantora o jednostajnej ciągłości). Równoważność norm w R^n, ciągłość normy. Własność Darboux dla funkcji skalarnych. Pochodne kierunkowe i cząstkowe, macierz Jacobiego. Pochodna funkcji. Związek pochodnej z pochodnymi kierunkowymi. Pochodna formy dwuliniowej. Pochodna superpozycji odwzorowań. Twierdzenie o wartości średniej dla funkcji wielu zmiennych i odwzorowań. Punkty krytyczne funkcji i

lemat Fermata. Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji różniczkowalnej. Prostopadłość gradientu funkcji do jej poziomicy.

3. Pochodne wyższych rzędów, Twierdzenie Schwarza o równości pochodnych mieszanych. Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych. Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych.

4. Odwzorowania różniczkowalne podzbiorów otwartych przestrzeni euklidesowych. Twierdzenie o funkcji odwrotnej. Dyfeomorfizmy. Twierdzenie o funkcji uwikłanej. Twierdzenie Brouwera o zachowaniu otwartości (bez dowodu).

5. Rozmaitości zanurzone w R^n, lokalne układy współrzędnych i lokalne parametryzacje. Przestrzeń wektorów stycznych i normalnych. Rozmaitości zadane przez układ równań.

6. Ekstrema warunkowe (związane), metoda mnożników Lagrange'a. Przykłady.

Teoria miary i całki Lebesgue'a

7. Sigma-ciała: definicja, własności. Sigma-ciało zbiorów borelowskich. Definicja miary, przestrzeń z miarą, własności miary. Miara zewnętrzna Lebesgue'a. Zbiory mierzalne i miara Lebesgue'a.

8. Własności zbiorów mierzalnych: aproksymacja zbiorów mierzalnych zbiorami otwartymi, domkniętymi, G_delta, F_sigma, mierzalność iloczynu kartezjańskiego. Istnienie zbioru niemierzalnego. Funkcje mierzalne: definicja, własności, funkcje proste. Funkcja mierzalna jako granica niemalejącego ciągu funkcji prostych.

9. Definicja całki, własności: oszacowanie modułu całki, twierdzenie Lebesgue'a o monotonicznym przejściu do granicy, lemat Fatou, twierdzenie Lebesgue'a o zmajoryzowanym przejściu do granicy. Aproksymacja całki Lebesgue'a sumami Riemanna.

10. Twierdzenie Fubiniego i twierdzenie o zamianie zmiennych w całce Lebesgue'a. Przykłady zastosowań.

Literatura:

1. A. Birkholc, Analiza matematyczna: Funkcje wielu zmiennych. Wydanie II, PWN, Warszawa 2018.

2. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 1-3, PWN, Warszawa 2007.

3. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.

4. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2009.

5. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 2009.

6. L. Schwartz, Kurs analizy matematycznej. Tom 1-2, PWN, Warszawa 1979.

7. M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, PWN, Warszawa 2006.

8. P. Strzelecki, Analiza matematyczna II (skrypt wykładu),

http://dydmat.mimuw.edu.pl/sites/default/files/wyklady/analiza-matamatyczna-ii.pdf

Efekty uczenia się:

1. Zna pojęcia pochodnej kierunkowej, pochodnej cząstkowej, różniczki zupełnej (pochodnej odwzorowania) i macierzy Jacobiego odwzorowania; rozumie związki między tymi pojęciami i zna ich najważniejsze własności algebraiczne i analityczne. Potrafi badać ciągłość i różniczkowalność funkcji wielu zmiennych. Operuje przykładami, ilustrującymi związki między pochodnymi cząstkowymi i pochodną odwzorowania.

2. Zna twierdzenie Schwarza o symetrii drugiej różniczki i wzór Taylora oraz warunki dostateczne ekstremów lokalnych funkcji wielu zmiennych. Potrafi wyznaczać kresy funkcji, określonych na różnych podzbiorach przestrzeni euklidesowej. Potrafi określać charakter punktu krytycznego funkcji klasy C^2.

3. Zna twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikłanej oraz pojęcie rozmaitości zanurzonej i pojęcie dyfeomorfizmu.

4. Potrafi opisać jawnymi wzorami dyfeomorfizm między nieskomplikowanymi podzbiorami płaszczyzny (przestrzeni trójwymiarowej). Rozpoznaje przykłady rozmaitości zanurzonych; potrafi uzasadnić, że zbiór opisany konkretnymi równaniami jest (lub nie jest) rozmaitością.

5. Zna metodę mnożników Lagrange'a. Wyznacza ekstrema lokalne związane funkcji wielu zmiennych rzeczywistych.

6. Zna podstawowe pojęcia teorii miary i całki, w tym twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej i zmajoryzowanej, twierdzenie o zmianie kolejności całkowania i o całkowaniu przez podstawienie. Posługuje się twierdzeniami o zbieżności zmajoryzowanych i zbieżności monotonicznej (a) do badania granic całek, zależnych od parameteru, (b) badając ciągłość i różniczkowalność funkcji określonych za pomocą całek zależnych od parametru. Potrafi podać przykłady, świadczące o istotności założeń w tych twierdzeniach.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2020/21" (w trakcie)

Okres: 2020-10-01 - 2021-01-31
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 60 godzin więcej informacji
Wykład, 60 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Marek Bodnar
Prowadzący grup: Marek Bodnar, Galina Filipuk, Zofia Grochulska, Michał Jóźwikowski, Przemysław Ohrysko, Tomasz Piasecki
Strona przedmiotu: https://moodle.mimuw.edu.pl/course/view.php?id=529
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin
Kierunek podstawowy MISMaP:

matematyka

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.