Harmonic analysis

General data

Course ID:	1000-1M10AH
Erasmus code / ISCED:	11.134 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Mathematics The ISCED (International Standard Classification of Education) code has been designed by UNESCO.
Course title:	Harmonic analysis
Name in Polish:	Analiza harmoniczna
Organizational unit:	Faculty of Mathematics, Informatics, and Mechanics
Course groups:	(in Polish) Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka Elective courses for 2nd stage studies in Mathematics
ECTS credit allocation (and other scores):	(not available) Basic information on ECTS credits allocation principles: the annual hourly workload of the student’s work required to achieve the expected learning outcomes for a given stage is 1500-1800h, corresponding to 60 ECTS; the student’s weekly hourly workload is 45 h; 1 ECTS point corresponds to 25-30 hours of student work needed to achieve the assumed learning outcomes; weekly student workload necessary to achieve the assumed learning outcomes allows to obtain 1.5 ECTS; work required to pass the course, which has been assigned 3 ECTS, constitutes 10% of the semester student load. view allocation of credits
Language:	English
Type of course:	elective monographs
Short description:	The lecture "Harmonic analysis" is addressed to students interested in analysis. During the course classical results of commutative harmonic and Fourier analysis will be presented. The course is a perfect introduction to more sophisticated topics in modern analysis.
Full description:	1. Introduction. L1(T) algebra. Fourier coefficients. 2. The Riemann-Lebesgue lemma. Approximative kernels. 3. Convergence of Fejer and Poisson means almost everywhere. 4. Order of magnitude of Fourier coefficients. 5. Fourier series of square summable functions. 6. Algebra of absolutely summing Fourier series. 7. Pointwise convergence of Fourier series (Dini and Lipschitz criteria). 8. Sets of divergence. 9. Hardy's spaces. Conjugate function. 10. Hilbert's inequality. Theorem of Hardy and Littlewood. Theorem of F. and M. Riesz. 11. Theorems of Kolmogorov and Zygmund. Riesz and Hilbert transform. 12. Calderon-Zygmund theory. 13. Introduction to multipliers. Hormander-Michlin theorem. 14. McGehee-Pigno-Smith theorem (Littlewood conjecture proved also by Konyagin). 15. Basic information about Fourier-Stieltjes coefficients of measure. 16. Idempotent measures and Helson's theorem.
Bibliography:	- W. Rudin, Fourier Analysis on Groups - A. Zygmund, Trigonometric Series - C.C. Graham, O. C. McGehee, Essays in Commutative Harmonic Analysis - E. M. Stein and G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis in Euclidean Spaces - Y. Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis - R. E. Edwards, Fourier Series, a Modern Introduction - E. Hewitt and K. A. Ross, Abstract Harmonic Analysis - E. M. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis, an Introduction - H. Helson, Harmonic Analysis - T. W. Korner, Fourier Analysis - A. Torchinsky, Real Variable Methods in Harmonic Analysis
Learning outcomes:	(in Polish) Student po odbyciu kursu "analiza harmoniczna": 1. Zna i rozumie podstawowe pojęcia teorii szeregów Fouriera. 2. Potrafi zastosować wiedzę o rozwinięciach w szeregi Fouriera do wykazania klasycznych wyników analizy. 3. Rozumie, dlaczego problem sumowalności szeregów Fouriera jest istotnie łatwiejszy niż problem ich zbieżności. 4. Jest w stanie za pomocą twierdzeń analizy funkcjonalnej wykazać istnienie funkcji ciągłych o rozbieżnym w pewnym punkcie szeregu Fouriera. 5. Umie wskazać jak odpowiednie warunki gładkości wpływają na współczynniki Fouriera. 6. Zna podstawowy język abstrakcyjnej analizy harmonicznej (np. operatory mnożnikowe i słabego typu) oraz potrafi podać przykład jej zastosowania do klasycznych problemów zbieżności szeregów Fouriera. 7. Rozumie różnice pomiędzy analizą harmoniczną w przypadku miar i w przypadku funkcji.
Assessment methods and assessment criteria:	(in Polish) Na koniec semestru przewidziany jest egzamin pisemny, którego wynik wraz z aktywnością na ćwiczeniach będzie podstawą do zaproponowania oceny. Osoby zainteresowane jej poprawą zostaną zaproszone na egzamin ustny. Najaktywniejsze osoby na ćwiczeniach mogą zostać zwolnione z egzaminu z oceną bardzo dobrą.

This course is not currently offered.

Course descriptions are protected by copyright.
Copyright by University of Warsaw.