Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia (grupa przedmiotów zdefiniowana przez Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki)

Semestr zimowy 2024/25

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład monograficzny - 30 godzin

Wykład "Algebry Banacha" ma na celu zaznajomienie uczestników z podstawową teorią algebr Banacha ze szczególnym uwzględnieniem przypadku przemiennego.

Semestr letni 2026/27

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Wykład będzie dotyczył wyników matematycznych ułatwiających obliczenia algebraiczne i zastosowanie komputera do analizy przykładów pochodzących z algebry i geometrii algebraicznej. Głównym celem zajęć jest poznanie współczesnych metod obliczeń algebraicznych, a przede wszystkim twierdzeń, dzięki którym efektywne obliczenia są możliwe.

Semestr zimowy 2025/26

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Wykład "Analiza harmoniczna" jest przeznaczony dla studentów zainteresowanych szeroko pojętą analizą. Jego celem jest przekazanie wiedzy na temat klasycznych wyników przemiennej analizy harmonicznej i fourierowskiej. Przedmiot ten stanowi doskonały wstęp do nauki zagadnień bardziej szczegółowych oraz abstrakcyjnych. Wymagana jest znajomość analizy na poziomie pierwszych dwóch lat studiów oraz wiedza wchodząca w zakres funkcji analitycznych i analizy funkcjonalnej I (zaliczanie równoczesne tych wykładów jest wystarczające).

Semestr letni 2024/25

• Laboratorium - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Semestr letni 2025/26

• Laboratorium - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Semestr letni 2026/27

• Laboratorium - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Poznanie technik analizy i wizualizacji danych w formie statycznej oraz interaktywnej.

Semestr zimowy 2026/27

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Błądzenie losowe na grupie to sztandarowy przykład łańcucha Markowa. Okazuje się, że asymptotyczne własności takiego procesu mogą dostarczyć wiele informacji na temat grupy. Są one powiązane z badaniem funkcji harmonicznych, które można opisać za pomocą tak zwanego brzegu Poissona grupy; jest to sytuacja analogiczna do klasycznych funkcji harmonicznych, które są wyznaczone jednoznacznie przez swoje wartości na brzegu obszaru.

W ostatnich latach podobne idee posłużyły do badania C*-algebr grupowych, czyli algebr operatorów splotowych. Jednym ze spektakularnych zastosowań jest charakteryzacja, dla których grup ta C* algebra jest prosta, czyli nie posiada nietrywialnych ideałów. Kluczowym narzędziem w tym kontekście jest brzeg Furstenberga, czyli inny rodzaj brzegu grupy.

Semestr zimowy 2025/26

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Wykład ma na celu zaznajomić uczestników z podstawowymi modelami dynamiki kolektywnej, oraz zaprezentować ich zastosowania w dynamice opinii, ruchu drogowym i sztucznej inteligencji. Kluczowym elementem wykładu będzie przedstawienie architektury transformer (czyli np. Chat GPT) w postaci modelu dynamiki kolektywnej związanego ze względnie prostym układem równań różniczkowych zwyczajnych.

Semestr letni 2025/26

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Omawiane są następujące tematy:

* Abstrakcyjne ekwiwariantne teorie kohomologii i twierdzenie o lokalizacji dla działania torusa

* Ekwiwariantna K-teoria Segala poprzez topologiczne wiązki jako przykłąd ekwiwariantnej teorii kohomologii

* Genus eliptyczny i formy modularne

* Eliptyczne ekwiwariantne kohomologie dla przestrzeni z działaniem torusa.

Semestr letni 2025/26

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Forcing stosowany jest do wykazywania dowodów niesprzeczności zdań języka teorii mnogości z ZFC, pozwala on na rozszerzanie danego modelu teorii mnogości M do większego modelu M[G], gdzie G jest tzw. filtrem generycznym nad M.

Forcing iterowany to metoda rozszerzania danego modelu teorii mnogości M, używająca powyższego schematu wielokrotnie: model M rozszerzany jest do modelu M1 = M[G0], gdzie G0 jest filtrem generycznym nadM, następnie nowo powstały model M1 jest rozszerzany do modeluM1[G1], gdzie G1 jest filtrem generycznym nad M1, itd.

Stosując tę procedurę α razy, gdzie α ∈ M jest liczbą porządkową, otrzymuje się złożony model będący rozszerzeniem M.

Celem wykładu będzie omówienie tej zaawansowanej techniki wraz z zaprezentowaniem jej zastosowań. Forcing iterowany stanowi obecnie niezbędne narzędzie w prowadzeniu badań na polu teorii mnogości, topologii i innych dziedzin, gdzie rozwiązania problemów badawczych zależą od przyjętej aksjomatyki teoriomnogościowej.

Semestr letni 2024/25

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Kurs poświęcony jest najważniejszym funkcjom specjalnym i ich zastosowaniom do równań różniczkowych.

Semestr letni 2025/26

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Wykład będzie prowadzony według książki [1] z możliwymi odniesienieami do [2] i [3]. Obiektem zainteresowań będą ciała wypukłe (czasem też bardziej ogólne zbiory, np. „sets of positive reach") w przestrzeniach euklidesowych skończonego wymiaru. Przedstawimy podstawy teorii Brunna-Minkowskiego i pokażemy zastosowanie do dowodu kilku twierdzeń (np. twierdzenie Minkowskiego o istnieniu ciała wypukłego o zadanej mierze powierzchniowej; zob. tw. 4.5 w [1]). Ostatecznie celem będzie twierdzenie Aleksandrowa o sferze: hiperpowierzchnia o stałej średniej krzywiźnie (lub stałych innych miarach krzywiznowych) musi być sferą; zob. [5].

Semestr zimowy 2026/27

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Wykład ma na celu wprowadzenie słuchaczy w problematykę geometrycznego rachunku wariacyjnego oraz przedstawienie kilku problemów otwartych. Celem jest omówienie szerokiego spektrum tematów bez wchodzenia głęboko w zagadnienia. Część wymienionych niżej punktów będzie zrobiona pobieżnie - bez dowodów. Na ćwiczeniach chcę skupić się na technicznej stronie pracy z obiektami geometrycznymi zanurzonymi z przestrzeń euklidesową, a także przybliżyć studentom problemy otwarte związane z pojęciem eliptyczności.

Semestr zimowy 2026/27

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Nie podano opisu skróconego, przejdź do strony przedmiotu aby uzyskać więcej danych.

Semestr letni 2024/25

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Semestr letni 2025/26

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Semestr letni 2026/27

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Wykład jest kontynuacją wykładu Inżynieria Finansowa. Na wykładzie będą przedstawione wybrane metody wyceny instrumentów opcyjnych na stopę procentową oraz praktyki rynkowe wyceny opcji walutowych. Ćwiczenia będą się koncentrowały na przykładach numerycznych ilustrujących omawiane na wykładzie metody.

Semestr letni 2024/25

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Semestr zimowy 2026/27

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Kurs ma na celu wprowadzenie do teorii kwantowych i kategoryjnych

niezmienników węzłów. Po wyjaśnieniu klasycznych wielomianów

Aleksandra, Conwaya, Jonesa i HOMFLY-PT, skwantujemy je za pomocą reprezentacji grup kwantowych i funktora Reshetikhina-Turaeva oraz skategoryfikujemy do homologii Khovanova-Lee. Kurs oparty jest na

wybranych fragmentach literatury wymienionej poniżej. Podane zostaną

sugestie dotyczące dalszej lektury.

Semestr letni 2024/25

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Celem wykładu jest zapoznanie uczestników z podstawami teorii losowych układów dynamicznych. Wykład będzie ilustrowany przykładami zastosowań, w tym - wybranymi publikacjami.