• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Głównym punktem wykładu będzie rozkład Paley-Littlewooda, będący rozkładem jedności na poziomie transformaty Fouriera. W naturalny sposób wprowadza to przestrzenie funkcyjne Besova B^s_{p,q} i Triebla F^s_{p,q} -- uogólnienia klasycznych przestrzeni Sobolowa na przestrzenie ułamkowe. Własności takiego spojrzenia powiązane są z osobliwymi operatorami określonymi przez mnożniki fourierowskie. Chodzi tu o twierdzenie Marcinkiewicza uogólniające tożsamość Persevala na przestrzenie L_p. By wykroczyć poza teorie liniowe wymagane jest uogólnienie mnożenia, tj. wprowadzimy pojęcie paraproduktu.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Wyklad "Analiza Harmonicza 2" jest planowany jako kontynuacja wykładu Analiza Harmoniczna, lecz zaliczenie tego ostatniego przedmiotu nie jest wymagane.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

• Warsztaty - 60 godzin

Błądzenie losowe na grupie to sztandarowy przykład łańcucha Markowa. Okazuje się, że asymptotyczne własności takiego procesu mogą dostarczyć wiele informacji na temat grupy. Są one powiązane z badaniem funkcji harmonicznych, które można opisać za pomocą tak zwanego brzegu Poissona grupy; jest to sytuacja analogiczna do klasycznych funkcji harmonicznych, które są wyznaczone jednoznacznie przez swoje wartości na brzegu obszaru.

W ostatnich latach podobne idee posłużyły do badania C*-algebr grupowych, czyli algebr operatorów splotowych. Jednym ze spektakularnych zastosowań jest charakteryzacja, dla których grup ta C* algebra jest prosta, czyli nie posiada nietrywialnych ideałów. Kluczowym narzędziem w tym kontekście jest brzeg Furstenberga, czyli inny rodzaj brzegu grupy.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Celem zajęć jest zapoznanie przyszłych nauczycieli matematyki z uwarunkowaniami zawodu nauczyciela.

• Warsztaty - 60 godzin

Ekspandery to nieskończone rodziny skończonych grafów łączące dwie, na pierwszy rzut oka wykluczające się własności : małą (kontrolowaną) ilość krawędzi oraz wysoką spójność. O ich istnieniu wiedziano od lat 50tych XX wieku, ale pierwszą konstrukcję takich grafów przedstawił dopiero w latach 70tych Margulis. Od tego czasu grafy te znalazły szereg zastosowań w geometrii metrycznej, teorii indeksu oraz informatyce.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Celem wykładu będzie przedstawienie metody forcingu, która umożliwia dowodzenie niesprzeczności zdań języka teorii mnogości z ZFC. Forcing został wprowadzony przez Paula Cohena do udowodnienia niezależności hipotezy continuum od ZFC. Następnie technika ta okazała się być bardzo skuteczną w odniesieniu do problemów badawczych, których rozwiązania zależą od przyjętej aksjomatyki teoriomnogościowej. Forcing jest obecnie jednym z najważniejszych narzędzi stosowanych w teorii mnogości i topologii, a umiejętność posługiwania się nim istotnie podnosi jakość prowadzonych badań. Wykład skierowany jest zarówno do studentów, którzy planują w przyszłości prowadzenie działalności naukowej jak i tych, którzy z czystej fascynacji chcą zrozumieć, dlaczego hipoteza continuum jest niezależna od ZFC. Konstrukcja wykładu pozwoli na ewentualną jego kontynuację w przyszłości w kierunku forcingu właściwego oraz forcingu iterowanego.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Kurs zgłębia teorię formalnych szeregów potęgowych dla zmiennych przemiennych i nieprzemiennych, z zastosowaniami w informatyce, kombinatoryce i sterowaniu. Motywacja często wynika z podstawowych problemów decyzyjnych w ważonych modelach obliczeniowych (np. liniowych ciągach rekurencyjnych i automatach ważonych). W razie potrzeby rozwijane będą odpowiednie narzędzia matematyczne z algebry przemiennej i różniczkowej.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Wykład będzie prowadzony według książki [1] z możliwymi odniesienieami do [2] i [3]. Obiektem zainteresowań będą ciała wypukłe (czasem też bardziej ogólne zbiory, np. „sets of positive reach") w przestrzeniach euklidesowych skończonego wymiaru. Przedstawimy podstawy teorii Brunna-Minkowskiego i pokażemy zastosowanie do dowodu kilku twierdzeń (np. twierdzenie Minkowskiego o istnieniu ciała wypukłego o zadanej mierze powierzchniowej; zob. tw. 4.5 w [1]). Ostatecznie celem będzie twierdzenie Aleksandrowa o sferze: hiperpowierzchnia o stałej średniej krzywiźnie (lub stałych innych miarach krzywiznowych) musi być sferą; zob. [5].

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Wykład ma na celu wprowadzenie słuchaczy w problematykę geometrycznego rachunku wariacyjnego oraz przedstawienie kilku problemów otwartych. Celem jest omówienie szerokiego spektrum tematów bez wchodzenia głęboko w zagadnienia. Część wymienionych niżej punktów będzie zrobiona pobieżnie - bez dowodów. Na ćwiczeniach chcę skupić się na technicznej stronie pracy z obiektami geometrycznymi zanurzonymi z przestrzeń euklidesową, a także przybliżyć studentom problemy otwarte związane z pojęciem eliptyczności.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

In this lecture, we will introduce the necessary basic concepts from topology that are needed for the first step into topological data analysis, e.g. topological

spaces, simplicial complexes, homology etc. Parallel to introducing these theoretical concepts, we also discuss options of how to handle geometric objects

with the help of computers and learn how to implement the learned techniques to analyze data. The lecture will be accompanied by exercise sessions, in which

theoretical and practical (programming) problems will be solved by the students. Prior knowledge of (algebraic) topology will be helpful but not a strict requirement. First experiences with Python is necessary for the practical part.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Wykład poszerza wybrane zagadnienia przedstawione na przedmiocie Inżynieria Finansowa (1000-135IFI). Na wykładzie będą przedstawione praktyki rynkowe obrotu handlowego opcjami walutowymi oraz rynkowe podejście do wyceny opcji walutowych. Druga część wykładu będzie poświęcona zmianom na rynku stopy procentowej w następstwie reformy wskaźników referencyjnych. Ćwiczenia będą się koncentrowały na przykładach numerycznych ilustrujących omawiane na wykładzie metody.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Kurs ma na celu wprowadzenie do teorii kwantowych i kategoryjnych

niezmienników węzłów. Po wyjaśnieniu klasycznych wielomianów

Aleksandra, Conwaya, Jonesa i HOMFLY-PT, skwantujemy je za pomocą reprezentacji grup kwantowych i funktora Reshetikhina-Turaeva oraz skategoryfikujemy do homologii Khovanova-Lee. Kurs oparty jest na

wybranych fragmentach literatury wymienionej poniżej. Podane zostaną

sugestie dotyczące dalszej lektury.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Przedmiot poświęcony jest nowoczesnym metodom uczenia maszynowego opartym na modelach ciągłych, w szczególności continuous-depth neural networks, neural ordinary differential equations (Neural ODEs), physics-informed neural networks oraz modelom dynamicznym wykorzystywanym w sztucznej inteligencji.

Celem kursu jest przedstawienie matematycznych podstaw ciągłych modeli neuronowych oraz ich implementacji i zastosowań w analizie danych, modelowaniu dynamicznym i problemach naukowych.

Kurs łączy teorię z praktyką obliczeniową, kładąc nacisk na interpretację modeli neuronowych jako układów dynamicznych.