(in Polish) Teoria miar Younga

Celem wykładu jest omówienie teorii miar Younga oraz jej bardziej zaawansowanych form: teorii miar DiPerny i Majdy a także teorii H-miar, motywacji, zastosowań w równaniach cząstkowych oraz związków z teorią przestrzeni Sobolewa.

Teoria miar Younga i jej wypustek to bardzo dynamicznie rozwijająca się dziedzina z pogranicza analizy funkcjonalnej, probabilistyki i teorii miary, oryginalnie wywodząca się z zagadnień rachunku wariacyjnego i teorii optymalizacji. Pomimo tego, że często można sobie poradzić w rachunkach analitycznych bez niej, jest to bardzo użyteczny aparat nie tylko ułatwiający obliczenia ale również bardzo dobrze tłumaczący wiele zjawisk związanych z zagadnieniami zbieżności (metody typu Galerkina), rachunku wariacyjnego (półciągłość funkcjonałów), istnienia rozwiązań w zagadnieniach parabolicznych i eliptycznych równań cząstkowych.

Interesować nas będą głównie następujące zagadnienia:

- miary Younga;

- miary DiPerny i Majdy;

- H-miary;

- zastosowania w rachunku wariacyjnym i równaniach cząstkowych;

- regularność rozwiązań;

- związki z probabilistyką

- związki z teorią przestrzeni Sobolewa - omówienie teorii miar gradientowych

Wykład będzie dostępny dla studentów którzy ukończyli kurs równań cząstkowych I i analizy funkcjonalnej oraz doktorantów.

[1] Ball, John M. Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity.

Arch. Rational Mech. Anal. 63 (1976/77), no. 4, 337–403.

[2] Evans, Lawrence C. Weak convergence methods for nonlinear partial differential equations. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 74. Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; by the American Mathematical Society, Providence, RI, 1990.

[3] Kałamajska, Agnieszka; Kružík, Martin Oscillations and concentrations in sequences of gradients. ESAIM Control Optim. Calc. Var. 14 (2008), no. 1, 71–104.

[4] Murat, F, A survey on compensated compactness. Contributions to modern calculus of variations (Bologna, 1985), 145–183, Pitman Res. Notes Math. Ser., 148, Longman Sci. Tech., Harlow, 1987.

[5] Murat, François; Tartar, Luc H-convergence. Topics in the mathematical modelling of composite materials, 21–43, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 31, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1997.

[6] Pedregal, Pablo Parametrized measures and variational principles. Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 30. Birkhäuser Verlag, Basel.

Student powinien pamiętać standardowe sformułowania podstawowych twierdzeń dotyczących teorii miar Younga, rachunku wariacyjnego, oraz znać pojęcia gradientowych miar Younga. Prowadzi to do umiejętności sprawnego czytania nowoczesnej literatury powiązanej z rachunkiem wariacyjnym, teorią optymalizacji, teorią mikrostruktur, metodami dotyczącymi teorii miarowych rozwiązań dla zagadnień cząstkowych oraz analizą

Wymagania dotyczące ćwiczeń: Ćwiczenia będą miały charakter częściowo seminaryjny. Prócz zadań będących uzupełnieniem do wykładów i regularnie rozwiązywanych na ćwiczeniach. Planowane jest wspólne zreferowanie kilku interesujących prac. W szczególności będzie należało wygłosić dość krótki referat na jeden z kilku zaproponowanych tematów. Do oceny końcowej z ćwiczeń brana będzie pod uwagę aktywność na ćwiczeniach, skuteczność rozwiązywania zadań oraz referat.

Wymagania dotyczące egzaminu: Trzeba mieć zaliczone ćwiczenia i ocena z ćwiczeń będzie brana pod uwagę przy ocenie końcowej. Egzamin będzie polegał na sprawdzeniu umiejętności zrelacjonowania sześciu spośród wybranych samodzielnie 8 wykładów w zależności od zainteresowań osoby zdającej egzamin.