Introduction to modular forms

General data

Course ID:	1000-1M19WFM
Erasmus code / ISCED:	11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Mathematics The ISCED (International Standard Classification of Education) code has been designed by UNESCO.
Course title:	Introduction to modular forms
Name in Polish:	Wstęp do form modularnych
Organizational unit:	Faculty of Mathematics, Informatics, and Mechanics
Course groups:	(in Polish) Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka Elective courses for 2nd stage studies in Mathematics
ECTS credit allocation (and other scores):	(not available) Basic information on ECTS credits allocation principles: the annual hourly workload of the student’s work required to achieve the expected learning outcomes for a given stage is 1500-1800h, corresponding to 60 ECTS; the student’s weekly hourly workload is 45 h; 1 ECTS point corresponds to 25-30 hours of student work needed to achieve the assumed learning outcomes; weekly student workload necessary to achieve the assumed learning outcomes allows to obtain 1.5 ECTS; work required to pass the course, which has been assigned 3 ECTS, constitutes 10% of the semester student load. view allocation of credits
Language:	English
Type of course:	elective monographs
Prerequisites (description):	(in Polish) Funkcje analityczne (podstawy analizy zespolonej), Algebra 1 (podstawy arytmetyki i teorii grup)
Short description:	(in Polish) Formy modularne są jednym z najbardziej zaawansowanych narzędzi współczesnej teorii liczb. Pierwsze formy modularne zostały odkryte w XIX stuleciu. Są to funkcje holomorficzne posiadające tak dużo symetrii, że samo ich istnienie "wygląda na zbieg okoliczności" (cytat z Barry'ego Mazura). Takie funkcje mają szerokie zastosowanie w kombinatoryce (np. badanie własności funkcji podziałów), teorii liczb (np. Wielkie Twierdzenie Fermata) oraz w innych działach matematyki (np. Monstrous moonshine, problem pakowania sfer w wyższych wymiarach) i fizyki teoretycznej (kwantowa teoria pola). Formy modularne, albo bardziej ogólnie automorficzne, są centralnym pojęciem Programu Langlandsa, metahipotezy kształtującej obecny rozwój geometrii arytmetycznej. Przedmiot stanowi przystępne wprowadzenie do tych teorii. Główny nacisk będzie położony na przykłady i rozwiązanie konkretnych problemów.
Full description:	(in Polish) I. Definicje i pierwsze przykłady: grupa modularna i jej obszar fundamentalny, szeregi Eisensteina i ich współczynniki Fouriera, formy cuspidalne, skończoność wymiaru przestrzeni form modularnych stałej wagi (3-4 wykłady) II. Formy modularne wyższych poziomów: kongruentne podgrupy i krzywe modularne, wzory na wymiar przestrzeni form modularnych, szeregi theta (3-4 wykłady) III. Moduli krzywych eliptycznych: krzywe algebraiczne na płaszczyźnie, algebraiczność torusów nad liczbami zespolonymi, rodziny krzywych eliptycznych i formy modularne (3-4 wykłady) IV. Operatory Heckego, formy własne i L-funkcje (3-4 wykłady) V. Przegląd innych wyników i zastosowań teorii form modularnych: teoria CM (complex multiplication), modularność krzywych eliptycznych, itd. (pozostały czas)
Bibliography:	(in Polish) J.-P. Serre, A Course in Arithmetic (Chapter VII) D. Zagier, Elliptic Modular Forms and Their Applications (in The 1-2-3 of Modular Forms) J.S. Milne, Modular Functions and Modular Forms J.S. Milne, Elliptic Curves
Learning outcomes:	(in Polish) Student potrafi konstruować formy modularne i dowodzić tożsamości pomiędzy nimi, rozumie geometryczne podstawy teorii oraz umie ją zastosować do udowodnienia niektórych klasycznych twierdzeń arytmetyki.

This course is not currently offered.

Course descriptions are protected by copyright.
Copyright by University of Warsaw.