Mathematical analysis for computer science II I with Mathematica

* Pochodne wyższych rzędów i wzór Taylora.

* Metoda stycznych (gdyby Newton miał komputer…).

* Szeregi potęgowe. Wzór Cauchy’ego-Hadamarda, ciągłość i różniczkowalność sumy szeregu potęgowego, przykłady.

* Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona.

* Całka oznaczona (Newtona, Riemanna) definicja i interpretacja geometryczna. * Długość krzywej.

* Różne zastosowania całki oznaczonej.

* Topologia przestrzeni euklidesowej. Norma, metryka, ciągłość funkcji wielu zmiennych rzeczywistych.

* Pochodne cząstkowe i kierunkowe. Różniczka. Interpretacja geometryczna, przykłady.

* Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Wzór Taylora. Warunki dostateczne ekstremów. Przykłady punktów krytycznych.

* Co to jest teoria miary i po co nam ona w ogóle? Przykład Vitaliego, σ-ciała, pojęcie miary zewnętrznej i miary.

* Miara Lebesgue’a: definicje, charakteryzacja, własności. Funkcje mierzalne.

* Teoria całki Lebesgue’a. Ogólna definicja całki. Twierdzenia o zbieżności.

* Całkowanie przez podstawienie. Twierdzenie Fubiniego. Sens geometryczny, przykłady zastosowań.

Wiedza i umiejętności:

A. znajomość ze zrozumieniem:

- pojęć (definicje i przykłady ilustrujące),

- sformułowanych twierdzeń (twierdzenia, stwierdzenia, fakty, lematy, wnioski itp oraz przykłady ilustrujące),

- ważnych dowodów,

B. umiejętność praktycznego posługiwania się twierdzeniami przy badaniu konkretnych problemów matematycznych, w odniesieniu grup tematycznych

1-5 i szczegółowych zagadnień w nich zawartych, wg. programu powyżej

Kompetencje społeczne:

1. Zrozumienie możliwości użycia elementarnych działów analizy matematycznej jako narzędzi pomocnych przy rozwiązywaniu zagadnień z innych dziedzin nauki oraz praktycznych zagadnień z życia codziennego (m. in. zagadnienia typu czysto obliczeniowego, zagadnienia maksymalizacji i minimalizacji, znajdowanie przybliżeń z szacowaniem błędów).

2. Umiejętność ścisłego, precyzyjnego i zgodnego z regułami logiki formułowania stwierdzeń, zrozumienie roli dowodu. Rozróżnienie modelu matematycznego od zagadnienia praktycznego, do którego model matematyczny próbujemy stosować.

3. Zdolność dostrzegania w konkretny ch przykładach pewnych abstrakcyjnych obiektów matematycznych

Część grup ćwiczeniowych jest prowadzona w szczególnej formule, z zajęciami laboratoryjnymi i wykorzystaniem systemu obliczeń symbolicznych Mathematica; do grup tych jest prowadzona osobna rejestracja.