Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Algebra I (potok *)

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-113bAG1* Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Algebra I (potok *)
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty obowiązkowe dla II roku (3. semestr) JSIM - wariant 3M+4I
Przedmioty obowiązkowe dla II roku matematyki
Punkty ECTS i inne: 7.50
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowe

Skrócony opis:

Wykład omawia podstawowe pojęcia teorii pierścieni, ciał i grup (aż po twierdzenie Sylowa i strukturę grup abelowych skończenie generowanych).

Pełny opis:

1. Pierścień liczb całkowitych Z i pierścień reszt z dzielenia przez m, Z_m. Definicja pierścienia przemiennego z 1. Podpierścień. Elementy odwracalne, dzielniki zera, dziedzina całkowitości. Podzielność, elementy nierozkładalne. Algorytm Euklidesa w Z, największy wspólny dzielnik. [1 wykład]

2. Pierścień wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach w ciele, pierścień wielomianów wielu zmiennych. Podzielność i algorytm Euklidesa w k[x]. Definicja pierścienia z jednoznacznością rozkładu (DJR). Twierdzenie: Z i k[x] są DJR. Wielomiany jednej zmiennej: funkcje wielomianowe, pierwiastki wielomianu, pierwiastki

a podzielność przez czynniki liniowe (tw. Bezout). Nierozkładalność wielomianów, kryterium Eisensteina i redukcja współczynników. [2 wykłady]

3. Homomorfizmy pierscieni z 1, izomorfizm, homomorfizm Z w Z_m oraz ewaluacja wielomianów: A[x] --> A, f --> f(a). Jądro homomorfizmu, ideał, ideał generowany przez skończony podzbiór, ideały główne. Dziedziny ideałów głównych (DIG), twierdzenia: dziedzina z algorytmem Euklidesa (Z, k[x]) jest DIG, DIG jest DJR. Pierścień ilorazowy R/I, konstrukcja i własność uniwersalna. Ideały pierwsze i ideały maksymalne. Twierdzenie: każdy ideał właściwy jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym. Twierdzenie: ideał I w A jest pierwszy (odp. maksymalny) <=> A/I jest dziedziną (ciałem). [2-3 wykłady]

4. Ciała mają wyłącznie trywialne ideały, każdy homomorfizm ciał jest włożeniem. Ciała proste, charakterystyka ciała. Twierdzenie: f w k[x] jest nierozkładalny <=> k[x]/(f) jest ciałem. Wniosek: pierścień ilorazowy k[x]/(f) jest ciałem zawierającym k, w którym f ma pierwiastek. Definicja algebraicznego domknięcia ciala (bez dowodu istnienia i jednoznaczności). Ciało ułamków dziedziny całkowitości: ogólna konstrukcja, przykłady: z Z do Q, z k[x] do k(x). [2 wykłady]

5. Grupa, grupa abelowa, podgrupa. Przykłady: grupy permutacji, grupy liniowe, grupy przekształceń. Grupa cykliczna, rząd elementu, rząd grupy. Warstwy grupy względem podgrupy, indeks podgrupy, twierdzenie Lagrange'a i zastosowania: każda grupa rzędu pierwszego jest cykliczna, małe tw Fermata. Homomorfizm grup, jądro homomorfizmu, dzielnik normalny, grupa ilorazowa. [2 wykłady]

6. Produkt dwóch grup, charakteryzacja wewnętrzna produktu. Rozkład skończonej grupy cyklicznej na produkt grup cyklicznych o rzędach względnie pierwszych. Grupy abelowe: podgrupa elementów torsyjnych grupy, kraty (skończenie generowane grupy abelowe bez elementów torsyjnych), twierdzenie strukturalne dla skończenie generowanych grup abelowych (bez dowodu). [1 wykład]

7. Działanie grupy na zbiorze, działanie grupy na sobie (z lewej, z prawej), twierdzenie Cayleya. Orbita działania, stabilizator elementu, punkty stałe działania, działanie wolne, działanie efektywne. Moc orbity = indeks stabilizatora. Przyklady: działanie grupy permutacji i grup liniowych, działanie grupy permutacji S_n

przez zero-jedynkowe macierze z GL_n, zastosowanie: znak permutacji jako wyznacznik. Rozkład zbioru na orbity, zastosowanie: rozkład permutacji z S_n na cykle rozłączne jako rozkład zbioru {1..n} na rozłaczne orbity działania podgrupy cyklicznej generowanej przez te permutacje. Automorfizmy grupy. Działanie grupy na sobie przez automorfizmy wewnętrzne, orbity = klasy sprzężoności elementów, centrum grupy jako jądro odwzorowania G -> Aut(G). Zastosowania: (1) twierdzenie Cauchy'ego o istnieniu elementu rzędu p, (2) twierdzenie o nietrywialności centrum p-grupy [3 wykłady]

Literatura:

1. A. Białynicki-Birula, Zarys algebry, Bibl.Mat. 63, PWN, Warszawa 1987

2. J. Browkin, Teoria ciał, Bibl.Mat.49, PWN, Warszawa 1977

3. M. Kargapolov, J. Merzljakov, Podstawy teorii grup, PWN, Warszawa 1976.

4. M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1981.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2018/19" (zakończony)

Okres: 2018-10-01 - 2019-01-25
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Agnieszka Bojanowska-Jackowska
Prowadzący grup: Agnieszka Bojanowska-Jackowska
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2019/20" (w trakcie)

Okres: 2019-10-01 - 2020-01-27
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Andrzej Weber
Prowadzący grup: Andrzej Weber
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.