Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Logika matematyczna

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-135LOM Kod Erasmus / ISCED: 11.113 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Logika matematyczna
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty fakultatywne dla studiów 2 stopnia na matematyce
Przedmioty fakultatywne na matematyce
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

fakultatywne

Założenia (lista przedmiotów):

Wstęp do matematyki (potok I) 1000-111bWMAa

Skrócony opis:

Wprowadzenie do klasycznych zagadnień logiki matematycznej z elementami teorii modeli.

Jeśli w wykładzie nie będą uczestniczyć słuchacze obcojęzyczni, wykład będzie prowadzony po polsku.

Pełny opis:

Systemy relacyjne. Podsystem, zanurzenie, izomorfizm. Algebry

Boole'a. (4 wykłady)

Język logiczny dla danej klasy systemów. Termy i formuły, zasada

indukcji. (1 wykład)

Prawdziwość formuł w systemach - definicja Tarskiego. Teorie i

modele. (2 wykłady)

Rachunek logiczny. Twierdzenie Goedla o pełności. Twierdzenie o

zwartości. (3 wykłady)

Funkcje Skolema i generowanie podmodeli. Realizacja typów - modele pierwsze i uniwersalne.

Kryterium Tarskiego-Vaughta elementarności podziału. (2

wykłady)

Ultraprodukt. Modele przeliczalnie nasycone. Modelowa zupełność dla ciał

uporządkowanych domkniętych (przy założeniu hipotezy

continuum). (2 wykłady)

Twierdzenie Tarskiego o eliminacji kwantyfikatorów dla ciał uporządkowanych

domkniętych (w sensie rzeczywistym). (1 wykład)

Literatura:

Z. Adamowicz, P. Zbierski, Logika matematyczna, PWN, Warszawa 1991.

J. Barwise, ed., Handbook of Mathematical Logic, North-Holland, Amsterdam 1978.

J.L. Bell, A.B. Slomson, Models and Ultraproducts: An Introduction, North-Holland, Amsterdam 1986.

R.C. Lyndon, O logice matematycznej, PWN, Warszawa 1978.

Efekty kształcenia:

Student:

1. zna podstawowe pojęcia związane ze składnią i semantyką logiki zdań. Zna twierdzenie o zwartości dla logiki zdań i potrafi podać przykład jego zastosowania. Potrafi udowodnić, że każda formuła jest logicznie równoważna formule w postaci koniunkcyjno-alternatywnej i alternatywno-koniunkcyjnej, a także znajdować postaci normalne dla zadanych formuł. Zna przynajmniej jeden przykład systemu dowodowego dla rachunku zdań i twierdzenie o pełności dla tego systemu;

2. zna definicję struktury relacyjnej (systemu relacyjnego) i definicje podstawowych operacji na strukturach relacyjnych. Umie zilustrować te definicje przykładami. Zna podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii algebr Boole'a, w tym pojęcia filtru i ultrafiltru oraz twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a jako ciał zbiorów;

3. zna podstawowe pojęcia związane ze składnią i semantyką logiki pierwszego rzędu, w tym pojęcia spełniania i prawdy. Rozumie, jakie klasy formuł zachowują wartość logiczną przy poszczególnych operacjach na strukturach. Zna typowe przykłady tautologii w logice pierwszego rzędu oraz twierdzenie o preneksowej postaci normalnej. Umie sprowadzać proste formuły do preneksowej postaci normalnej;

4. rozumie pojęcie definiowalnej (skończenie aksjomatyzowalnej) i aksjomatyzowalnej klasy struktur. Potrafi konstruować zdania mające określoną wartość logiczną w danych strukturach oraz zdania bądź zbiory zdań aksjomatyzujące określone klasy struktur. Zna pojęcie zbioru definiowalnego i potrafi konstruować formuły definiujące określone zbiory w danych strukturach. Potrafi dowodzić niedefiniowalności zbiorów za pomocą automorfizmów;

5. zna twierdzenie o zwartości dla logiki pierwszego rzędu;

6. zna pojęcie ultraproduktu, przykłady ultraproduktów i twierdzenie Łosia o spełnianiu w ultraproduktach;

7. Potrafi dowodzić nieaksjomatyzowalności klas struktur za pomocą twierdzenia o zwartości bądź twierdzenia Łosia. Zna twierdzenie Frayne'a, Morela i Scotta charakteryzujące klasy aksjomatyzowalne;

8. zna przykład systemu dowodowego dla logiki pierwszego rzędu i twierdzenie o pełności dla tego systemu;

9. zna pojęcie podstruktury elementarnej i twierdzenia Skolema-Löwenheima. Potrafi używać twierdzeń Skolema-Löwenheima do konstruowania struktur o zadanej z góry mocy i określonych własnościach logicznych.

Metody i kryteria oceniania:

Egzamin.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2018/19" (zakończony)

Okres: 2018-10-01 - 2019-01-25
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Leszek Kołodziejczyk
Prowadzący grup: Leszek Kołodziejczyk
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2019/20" (w trakcie)

Okres: 2019-10-01 - 2020-01-27
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Leszek Kołodziejczyk
Prowadzący grup: Leszek Kołodziejczyk, Bartosz Wcisło, Piotr Zakrzewski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.