(in Polish) Elementy geometrycznej teorii miary w wariacyjnym podejściu do przetwarzania i analizy obrazów

Łatwo jest wskazać ważne zadania w przetwarzaniu i analizie obrazów, są to odszumianie i odnajdowanie konturów. Chcę przedstawić te metody, które wykorzystują rachunek wariacyjny i równania różniczkowe, ale koniecznym jest wprowadzenie w samą reprezentację obrazów.

Zajmiemy się algorytmem Rudina-Oshera-Fatemiego (ROF) i funkcjonałem Mumforda-Shaha (MSh). Minimalizowanie funkcjonału ROF wymaga określenia go na przestrzeni funkcji o wahaniu ograniczonym - BV. Pochodne takich funkcji są miarami. Z drugiej strony samo sformułowanie funkcjonału MS wymaga posłużenia się miarą Hausdorffa.

Wykład w istotnym stopniu będzie się opierał na książkach [CS] i [D]. Jednakże lokalna grupa badawcza (Łasica, Mucha, Muszkieta, Rybka) ma wkład w rozwój teorii, o czym wspomnimy.

Wspomniany algorytm ROF jest stosowany do odszumiania obrazów a jednocześnie ma on dobrze odtwarzać krawędzie. Krawędzie na obrazie pojawiają się tam, gdzie są skoki w jasności. To właśnie funkcje z przestrzeni BV mogą mieć skokowe nieciągłości, dlatego pojawiają się tu w sposób naturalny. Opowiemy dlaczego istnieją rozwiązania zagadnienia minimalizacyjnego w algorytmie ROF i jakie są właściwości punktów minimalnych. Może się okazać, że okazać, że rozwiązanie jest zerowe (nie ma obrazu), przy niezerowych danych wejściowych (składają się one tylko z szumu), patrz [Me], [Mu].

Funkcjonał MS służy do dzielenia obrazu. Jedną niewiadomych jest powierzchnia, jej miara Hausdorffa jest jednym ze składników funkcjonału. Przedyskutujemy istnienie punktów minimalnych i ich właściwości.

Zajmiemy się też nieoczekiwanym aspektem algorytmu ROF. Okazuje się, że iterowanie minimalizowania funkcjonału ROF prowadzi do nietypowych zagadnień ewolucyjnych. Zostanie przedstawiony wymagany materiał wstępny. Przedstawimy też nowe wyniki z tego obszaru.