Kwantowa Teoria Galois

monograficzne

Wykład jest w istocie samowystarczalny.

Oczekiwane jest jedynie podstawowe doświadczenie i znajomość najprostszych własności pierścieni, modułów, grup, przestrzeni topologicznych i rozwłóknień. Nie zakłada się żadnej szczególnej wiedzy na temat teorii Galois.

Klasyczna teoria Galois, której początkowym celem było podanie koniecznych i dostatecznych warunków rozwiązalności równań algebraicznych za pomocą pierwiastników, była wielokrotnie modyfikowana i szeroko uogólniana. Ważnymi przykładami są następujące teorie: teoria przestrzeni nakrywających, zapoczątkowana przez H. Poincaré, uważana dziś często za główne źródło topologii algebraicznej, teoria etalnych nakryć Galois schematów, stworzona przez A. Grothendiecka, odgrywająca ważną rolę w geometrii algebraicznej i mająca ważne zastosowania w algebraicznej teorii liczb, oraz wiele innych teorii zarówno w obszarze algebry abstrakcyjnej jak i jej zastosowań do geometrii i topologii.

Niniejszy wykład przedstawi bieżący stan tego procesu uogólniania obejmujący algebry nieprzemienne. Wśród nich znajdują się rozszerzenia Hopf-Galois, oraz działania główne grup kwantowych na C*-algebrach (nieprzemienne topologiczne wiązki główne).

Na początku celem wykładu jest dokonanie przeglądu struktur pojawiających się w uogólnieniach klasycznej teorii Galois o charakterze geometrycznym. Skupimy się na następujących zagadnieniach: rozszerzenia Galois ciał, teoria Galois jako równoważność kategorii, grupa podstawowa i nakrycie uniwersalne, torsory i kohomologie Galois, kontekst Galois i wiązki główne, kontekst Galois w kategoriach monoidalnych, kategorie Tannaki i rekonstrukcja tannakiańska.

Następna część poświęcona będzie nieprzemiennej teorii Galois, szczególnie jeżeli chodzi o następujące ostatnie jej osiągnięcia: rozszerzenia Hopf-Galois: twierdzenia Schneidera; geometryczno-różniczkowe aspekty teorii rozszerzeń (silne koneksje, główne algebry komodułowe, wolne działania grup kwantowych na C*-algebrach z jedynką); charakter Cherna-Galois (struktury splatające, rozszerzenia główne, moduły stowarzyszone, sparowanie indeksowe); kopierścienie (kopierścień Sweedlera i kopierścień stowarzyszony ze strukturą splatającą, rozszerzenia rozdzielcze i rozszczepialne algebr, kopierścienie z elementem grupowym i ich związek z koneksjami).

Na koniec teoria rozdzielczych rozszerzeń Hopf-Galois zostanie zastosowana do skonstruowania nowego kwantowego niezmiennika rozmaitości, który rozszerza pojęcie grupy podstawowej z poziomu grup do poziomu algebr Hopfa. Porównanie naszego kwantowego niezmiennika z klasyczną grupą podstawową będzie dane przy użyciu kwantowego równania Maurera-Cartana i metod Syntetycznej Geometrii Różniczkowej.

Wybrane fragmenty z:

-- Steven H. Weintraub, Galois Theory, Springer Science & Business Media, 2008.

-- David E. Radford, Hopf Algebras, World Scientific, 2012.

-- Hans-Jürgen Schneider,Principal homogeneous spaces for arbitrary Hopf algebras, Isr. J. Math.72 (1990), 167–195.

-- Susan Montgomery, Hopf Galois theory: A survey, Geometry & Topology Monographs 16 (2009), 367–400

-- Peter Schauenburg, Hans-Jürgen Schneider, On generalized Hopf galois extensions, Journal of Pure and Applied Algebra 202 (2005) 168 – 194.

-- Paul F. Baum, Piotr M. Hajac, Local Proof of Algebraic Characterization of Free Actions, SIGMA, 2014, Volume 10, 060.

-- Brzeziński T., Hajac P.M., The Chern–Galois character, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 338 (2004), 113–116, math.KT/0306436.

-- André Joyal, Ross Street, An introduction to Tannaka duality and quantum groups, in Part II of Category Theory, Proceedings, Como 1990, eds. A. Carboni, M. C. Pedicchio and G. Rosolini, Lec. Notes in Mathematics 1488, Springer, Berlin, 1991, pp. 411–492.

-- Kock, A., Synthetic Differential Geometry, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 51, Cambridge University Press, Cambridge 1981.