Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Topologia I (potok *)

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-113bTP1* Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Topologia I (potok *)
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty obowiązkowe dla II roku (3. semestr) JSIM - wariant 3I+4M
Przedmioty obowiązkowe dla II roku (3. semestr) JSIM - wariant 3M+4I
Przedmioty obowiązkowe dla II roku matematyki
Przedmioty obowiązkowe dla II roku matematyki specjalności MSEM
Punkty ECTS i inne: 7.50
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowe

Skrócony opis:

Wykład omawia podstawowe pojęcia topologii: przestrzenie metryczne i topologiczne, przekształcenia ciągłe, homeomorfizmy, iloczyny kartezjańskie, zupełne przestrzenie metryczne, zwartość, spójność i łukową spójność, homotopię przekształceń i pętli, ściągalność, przestrzenie ilorazowe.

Wykład jest przeznaczony dla studentów zainteresowanych głębszym poznaniem przedmiotu i lubiących myśleć o związanych z nim zadaniach i problemach.

Pełny opis:

1. Przestrzenie metryczne. Przestrzenie topologiczne. Przekształcenia ciągłe, homeomorfizmy. Aksjomaty oddzielania. Ośrodkowość. Przestrzenie ilorazowe. Rozmaitości 2-wymiarowe, przykłady ich otrzymywania przez sklejania wielokąta. Iloczyny kartezjańskie przestrzeni topologicznych. Tw. Tietzego o przedłużaniu przekształceń. (3 wykłady)

2. Przestrzenie zwarte. Równoważne warunki zwartości w przestrzeniach metryzowalnych. Zwarte podzbiory przestrzeni euklidesowej. Zbiór Cantora. Przekształcenia ciągłe przestrzeni zwartych. Jednostajna ciągłość. Tw. Tichonowa o zwartości iloczynu kartezjańskiego przestrzeni zwartych. Przestrzenie lokalnie zwarte, uzwarcenie jednopunktowe. Przestrzenie parazwarte, rozkład jedności. (3 wykłady).

3. Przestrzenie zupełne. Jeśli przestrzeń Y jest zupełna, to dla każdej przestrzeni topologicznej X przestrzeń funkcji ograniczonych C_b(X,Y) z metryką sup jest zupełna. Tw. Banacha o punkcie stałym. Tw. Baire'a. Zupełność + całkowita ograniczoność = zwartość. Tw. Ascoliego-Arzeli. (2 wykłady).

4. Przestrzenie spójne. Łukowa spójność. Składowe spójności i składowe łukowej spójności. (1 wykład).

5. Homotopia przekształceń. Ściągalność przestrzeni. Homotopia pętli. Jednospójność. Jednospójność sfer wymiaru co najmniej 2. Nieściągalność okręgu. Wnioski: nieistnienie retrakcji dysku na okrąg, tw. Brouwera w wymiarze 2. Dowód Zasadniczego Twierdzenia Algebry. Tw. Borsuka o rozcinaniu: zwarty podzbiór A rozcina n+1-wymiarową euklidesową wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przekształcenie zbioru A w sferę n-wymiarową, które nie jest homotopijne z przekształceniem stałym (dowód dla n=1). (4 wykłady).

Literatura:

1. S. Betley, J.Chaber, E. Pol, R. Pol - Topologia I, Skrypt MIMUW, 2005

2. R. Engelking, K. Sieklucki - Wstęp do topologii, PWN 1986.

3. K. Janich, Topologia, Warszawa 1991

4. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN 2004

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2020/21" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2020-10-01 - 2021-01-31
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 45 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Witold Marciszewski
Prowadzący grup: Witold Marciszewski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Wykład - Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.