Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Równania różniczkowe zwyczajne z laboratorium

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-114bRRZIb Kod Erasmus / ISCED: 11.132 / (brak danych)
Nazwa przedmiotu: Równania różniczkowe zwyczajne z laboratorium
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty obowiązkowe dla II roku (4. semestr) JSIM - wariant 3M+4I
Przedmioty obowiązkowe dla II roku matematyki
Przedmioty obowiązkowe dla II roku matematyki specjalności MSEM
Punkty ECTS i inne: 7.50
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowe

Skrócony opis:

Równania różniczkowe zwyczajne, ich własności i przykłady zastosowań. Metody rozwiązywania RRZ: analityczne i numeryczne. Część ćwiczeń w laboratorium komputerowym, ilustrującym możliwości pakietów komputerowych w tym zakresie. Alternatywnie możesz wybrać 1000-114bRRZa o nieco innym charakterze.

Pełny opis:

Równanie różniczkowe i jego rozwiązania, równania pierwszego i wyższych rzędów, układy rzędu l, sprowadzanie równań wyższych rzędów do układu rzędu l, pole kierunków, proste typy równań dających rozwiązywać się analitycznie.

Proste schematy numeryczne: jedno i wielo krokowe, otwarte i zamknięte. Metody typu Taylora, tryb prognoza-poprawka, obliczanie rzędu. Metody typu Runge'go-Kutty otwarte i zamknięte, związek rzędu i liczby stopni.

Lokalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności; przedłużanie rozwiązań. Zależność rozwiązania od parametru i warunku początkowego, różniczkowalność względem parametru. Twierdzenie o prostowaniu.

Układy równań liniowych, przestrzeń rozwiązań i baza. Macierz fundamentalna, Wrońskian, twierdzenie Liouville'a; układy o stałych współczynnikach. Macierz wykładnicza, układy niejednorodne. Równania liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach.

Równanie różnicowe i jego rozwiązanie, równanie różnicowe liniowe o stałych współczynnikach jednorodne i niejednorodne. Pojęcie zbieżności, teoria zbieżności schematów jednokrokowych. Zgodność schematu. Twierdzenie o zbieżności. Schematy wielokrokowe; pojęcie stabilności i silnej stabilności.

Stabilność rozwiązań w sensie Lapunowa, funkcja Lapunowa. Jakościowa analiza rozwiązań: klasyfikacja krzywych fazowych układu autonomicznego, punkty osobliwe układu liniowego na płaszczyźnie. Klasyfikacja i punkty osobliwe układów nieliniowych, całka pierwsza.

Stabilność absolutna, obszar stabilności absolutnej. Pojęcie sztywności, przykład układu sztywnego, współczynnik sztywności.

Praca z komputerem: pakiet do obliczeń symbolicznych i numerycznych (w ramach ćwiczeń). W trakcie wykładu będą przedstawiane przykłady zastosowań omawianej teorii.

Literatura:

A. Palczewski "Równania różniczkowe zwyczajne", WNT

E. Hairer, S. P. Norsett, G. Wanner "Solving Ordinary Differential Equations", Springer

Efekty uczenia się:

Wiedza i umiejętności:

  1. Wie co to jest równanie różniczkowe, zagadnienie początkowe i co to jest rozwiązanie zagadnienia początkowego, umie sprawdzić, czy dana funkcja jest rozwiązaniem równania różniczkowego lub zagadnienia początkowego;
  2. Umie rozwiązywać równania różniczkowe: o zmiennych rozdzielonych, równania jednorodne, Bernouliego;
  3. Zna warunki dostateczne istnienia jednoznacznego rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego z zadanym warunkiem początkowym;
  4. Umie podać przykład zagadnienia początkowego, które posiada nieskończenie wiele rozwiązań;
  5. Zna twierdzenie o przedłużaniu rozwiązań równania różniczkowego zwyczajnego oraz umie podać przykład zagadnienia początkowego, którego rozwiązania nie da się przedłużyć poza pewien skończony odcinek;
  6. Umie rozwiązać liniowe równanie różniczkowe zwyczajne i układ liniowych równań różniczkowych zwyczajnych;
  7. Umie sprowadzić równanie różniczkowe wyższego rzędu do układu równań różniczkowych rzędu pierwszego;
  8. Umie znaleźć macierz fundamentalną układu równań liniowych;
  9. Wie co to jest pole wektorowe;
  10. Wie co to jest punkt stacjonarny i zna definicję stabilności asymptotycznej punktu stacjonarnego i stabilności w sensie Lapunova;
  11. Umie zbadać stabilność punktu stacjonarnego;
  12. Zna przykłady zastosowań równań różniczkowych zwyczajnych w różnych dziedzinach wiedzy;
  13. Umie posługiwać się pakietami do obliczeń symbolicznych i numerycznych przy znajdowaniu analitycznych lub numerycznych rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych.

Kompetencje społeczne:

  1. Rozumie znaczenie równań różniczkowych zwyczajnych jako narzędzia służącego do formułowania praw przyrody.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2019/20" (zakończony)

Okres: 2020-02-17 - 2020-08-02
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Laboratorium, 15 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Piotr Kowalczyk
Prowadzący grup: Marcin Choiński, Piotr Kowalczyk, Konrad Sakowski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2020/21" (jeszcze nie rozpoczęty)

Okres: 2021-02-22 - 2021-06-13
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Laboratorium, 15 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Piotr Kowalczyk
Prowadzący grup: Piotr Kowalczyk, Konrad Sakowski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.