(in Polish) Elementy analizy rzeczywistej
General data
Course ID: | 1000-135EAR |
Erasmus code / ISCED: |
11.1
|
Course title: | (unknown) |
Name in Polish: | Elementy analizy rzeczywistej |
Organizational unit: | Faculty of Mathematics, Informatics, and Mechanics |
Course groups: |
Elective courses for 1st degree studies in mathematics |
ECTS credit allocation (and other scores): |
6.00
|
Language: | Polish |
Main fields of studies for MISMaP: | mathematics |
Type of course: | elective courses |
Requirements: | Mathematical analysis I.1 1000-111bAM1a |
Prerequisites (description): | (in Polish) Zakładamy że student zna pełen kurs analizy: Analizę Matematyczną I.1, I.2, II.1 i II.2, mile widziany kurs analizy funkcjonalnej lecz nie jest to wymagane. |
Mode: | Blended learning |
Short description: |
(in Polish) Splot funkcji i jego zastosowania do aproksymacji. Szeregi Fouriera i badanie ich zbieżności. Przestrzeń Schwartza i transformata Fouriera. Funkcja maksymalna Hardy’ego-Littlewooda. Funkcje monotoniczne, o wahaniu ograniczonym i absolutnie ciągłe. Funkcje lipszycowskie: ich rozszerzenia i własności aproksymacyjne. Przykłady powiązań pomiędzy teorią równań cząstkowych, teorią aproksymacji, analizą harmoniczną i zespoloną oraz teorią interpolacji. |
Full description: |
(in Polish) 1. Sploty, przestrzenie L^p Lebesgue'a i nierówność Younga. Własności regularyzacyjne splotu, zastosowanie do przybliżania funkcjami gładkimi. 2. Szeregi Fouriera: definicja, kryteria zbieżności punktowej (Diniego, Lipschitza, Dirichleta). Zbieżność w L^2 i twierdzenie Plancherela. Zastosowania w równaniach różniczkowych. 3. Przestrzeń Schwartza S, transformata Fouriera na S, L^1 i L^2. Przykłady zastosowań w równaniach różniczkowych. 4. Funkcja maksymalna Hardy'ego-Littlewooda i twierdzenie Lebesgue'a o różniczkowaniu. 5. Różniczkowalność funkcji monotonicznych jednej zmiennej, funkcje o wahaniu ograniczonym i funkcje absolutnie ciągłe. 6. Funkcje lipszycowskie: twierdzenie Kirszbrauna i twierdzenie Rademachera. Twierdzenie Stiepanowa. 7. Elementy teorii interpolacji. Przykłady związków z analizą zespoloną, harmoniczną oraz funkcjonalną. |
Bibliography: |
(in Polish) 1. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 3, PWN, Warszawa 2007. 2. L. Grafakos, Classical Fourier analysis. Third edition, Graduate Texts in Mathematics, 249, Springer, New York 2014. 3. T. W. Körner, Fourier analysis. Second edition, Cambridge University Press, Cambridge 1989. 4. S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1973. 5. H. Royden, P. Fitzpatrick, Real analysis. Third edition, Macmillan Publishing Company, New York 1988. 6. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 2009. 7. E. M. Stein, R. Shakarchi, Fourier analysis: An introduction, Princeton University Press, Princeton 2003. 8. E. M. Stein, R. Shakarchi, Real analysis: Measure theory, integration, and Hilbert spaces, Princeton University Press, Princeton 2005. |
Learning outcomes: |
(in Polish) Student: 1. Zna podstawowe własności przestrzeni L^p i ilustruje je na przykładach. Potrafi opisać związki między tymi przestrzeniami a przestrzenią funkcji ciągłych. Operuje pojęciem splotu i zna jego kluczowe własności. 2. Potrafi rozwijać funkcje w szereg Fouriera, umie badać zbieżność punktową oraz zbieżność w L^2 takiego szeregu. Zna przykłady zastosowań szeregów Fouriera oraz rozumie ich znaczenie w równaniach różniczkowych. 3. Dysponuje wiedzą dotyczącą podstawowych własności transformaty Fouriera na klasie Schwarza S oraz przestrzeniach L^1, L^2. Podaje zastosowania tego narzędzia, m.in. do rozwiązywania równań różniczkowych. 4. Zna twierdzenie Lebesgue'a o różniczkowaniu i podstawowe lematy pokryciowe. Potrafi wskazać podstawowe własności operatora maksymalnego Hardy'ego-Littlewooda (np. ograniczoność w różnych przestrzeniach funkcyjnych) i ilustruje je na przykładach. 5. Umie wykazać różniczkowalność funkcji monotonicznej jednej zmiennej. Potrafi badać własności funkcji o wahaniu ograniczonym oraz funkcji absolutnie ciągłych i podać ich przykłady. 6. Zna podstawowe własności funkcji lipszycowskich. Potrafi badać zagadnienia związane z różniczkowalnością oraz rozszerzalnością dziedziny takich obiektów, podając stosowne przykłady i kontrprzykłady. 7. Rozumie znaczenie struktur i metod analizy jako narzędzi służących do badania złożonych modeli matematycznych. 8. Potrafi podać przykładowe powiązania pomiędzy różnymi działami analizy. |
Assessment methods and assessment criteria: |
(in Polish) Ocena z przedmiotu będzie wystawiona na podstawie oceny z ćwiczeń oraz egzaminu. |
Classes in period "Summer semester 2023/24" (in progress)
Time span: | 2024-02-19 - 2024-06-16 |
Navigate to timetable
MO WYK
CW
TU W TH FR |
Type of class: |
Classes, 30 hours
Lecture, 30 hours
|
|
Coordinators: | Przemysław Ohrysko | |
Group instructors: | Przemysław Ohrysko | |
Students list: | (inaccessible to you) | |
Examination: | Examination |
Classes in period "Summer semester 2024/25" (future)
Time span: | 2025-02-17 - 2025-06-08 |
Navigate to timetable
MO TU W TH FR |
Type of class: |
Classes, 30 hours
Lecture, 30 hours
|
|
Coordinators: | Agnieszka Kałamajska | |
Group instructors: | Agnieszka Kałamajska | |
Students list: | (inaccessible to you) | |
Examination: | Examination |
Copyright by University of Warsaw.