Równania różniczkowe cząstkowe I (potok I)
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-135RC1a |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.143
|
Nazwa przedmiotu: | Równania różniczkowe cząstkowe I (potok I) |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: | |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Rodzaj przedmiotu: | fakultatywne |
Założenia (lista przedmiotów): | Równania różniczkowe zwyczajne I (potok I) 1000-114aRRZa |
Skrócony opis: |
Wprowadzenie do teorii liniowych równań różniczkowych cząstkowych. Wybrane elementy teorii dystrybucji i przestrzeni Sobolewa; zastosowania do zagadnień eliptycznych, parabolicznych i hiperbolicznych. |
Pełny opis: |
Przykłady rownań różniczkowych cząstkowych; związki z fizyką i geometrią. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu, informacja o metodzie charakterystyk. (1--2 wykłady) Równanie falowe w wymiarach n=1, 2, 3. Wzory d'Alemberta, Poissona, Kirchhoffa. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań. Zasada Huygensa. Niejednorodne równanie falowe, metoda Duhamela.\/. Równanie przewodnictwa cieplnego. Zasada maksimum. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań. Interpretacja probabilistyczna. Porównanie własności rozwiązań równania przewodnictwa cieplnego i równania falowego; interpretacje fizyczne. Równanie Laplace'a i Poissona. Funkcje harmoniczne: własność wartości średniej, zasada maksimum, nierówność Harnacka, ciągi funkcji harmonicznych. Funkcja Greena. Metoda Perrona i pojęcie bariery. Klasyfikacja równań rzędu drugiego. (4--6 wykładów) Dystrybucje i przestrzenie Sobolewa: motywacje i definicje. Gęstość funkcji gładkich. Nierówność Poincarego. Twierdzenie Sobolewa o włożeniu. Twierdzenie o śladzie. Metoda wariacyjna Ritza i słabe rozwiązania eliptycznych zagadnień brzegowych. Lemat Weyla; wzmianka o teorii regularności. (3--4 wykłady) Funkcje i wartości własne operatora Laplace'a. (1--2 wykłady) Twierdzenie Cauchy'ego i Kowalewskiej; przykład istotności założeń. Informacja o twierdzeniu Holmgrena. (1 wykład) |
Literatura: |
L.C. Evans. Równania różniczkowe cząstkowe. PWN, Warszawa 2002. L. Bers, J. Fritz, M. Schechter. Partial differential equations. Interscience, 1964. |
Efekty uczenia się: |
Wiedza i umiejętności: 1. wie, co to jest równanie różniczkowe cząstkowe; rozróżnia równania eliptyczne, hiperboliczne i paraboliczne 2. umie wyprowadzić wzór d’Alemberta; zna metodę wyprowadzenia wzorów Kirchhoffa i Poissona 3. zna własności funkcji harmonicznych, w szczególności własność wartości średniej i jej konsekwencje 4. zna nierówność Harnacka i jej konsekwencje 5. w prostych przypadkach znajduje funkcję Greena 6. zna wzór na rozwiązanie równania ciepła w całej przestrzeni 7. umie wykorzystywać zasadę maksimum w dowodach jednoznaczności rozwiązań 8. korzysta z metod energetycznych 9. umie rozwiązywać wybrane równania różniczkowe cząstkowe metodą rozdzielenia zmiennych; zna podstawowe własności szeregów Fouriera 10. zna metodę Perrona 11. zna definicje i podstawowe własności przestrzeni Sobolewa 12. umie wykazać istnienie słabych rozwiązań, posługując się twierdzeniem Laxa-Milgrama 13. umie wykazać nierówność Poincarego oraz twierdzenie Sobolewa 14. na wybranych przykładach pokazuje związek istnienia rozwiązania równania różniczkowego z istnieniem minimum odpowiedniego funkcjonału Kompetencje społeczne: 1. umie pracować w grupie, rozwiązując i omawiając problemy związane z teorią równań różniczkowych cząstkowych 2. zna rolę równań różniczkowych cząstkowych w opisie świata fizycznego |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.