Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Analiza Fouriera

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M10AF Kod Erasmus / ISCED: 11.154 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Analiza Fouriera
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla IV - V roku matematyki
Punkty ECTS i inne: (brak)
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Skrócony opis:

Głównym punktem wykładu będzie rozkład Paley-Littlewooda, będący rozkładem jedności na poziomie transformaty Fouriera. W naturalny sposób wprowadza to przestrzenie funkcyjne Besova B^s_{p,q} i Triebla F^s_{p,q} -- uogólnienia klasycznych przestrzeni Sobolowa na przestrzenie ułamkowe. Własności takiego spojrzenia powiązane są z osobliwymi operatorami określonymi przez mnożniki fourierowskie. Chodzi tu o twierdzenie Marcinkiewicza uogólniające tożsamość Persevala na przestrzenie L_p. By wykroczyć poza teorie liniowe wymagane jest uogólnienie mnożenia, tj. wprowadzimy pojęcie paraproduktu.

Pełny opis:

Współczesna analiza matematyczna wymaga głębokiego spojrzenia na własności funkcji, w szczególności pojęcia takie jak różniczkowanie, całkowanie czy nawet mnożenie daleko odbiegają od swoich klasycznych odpowiedników. Rozwój w tym kierunku został wymuszony przez matematykę stosowaną, reprezentowaną głównie przez równania cząstkowe i metody numeryczne. Wykład swój chciałbym skoncentrować na narzędziach analizy fourierowskiej, przedstawiając spójną teorię wymaganą przez aktualną matematykę.

Głównym punktem wykładu będzie rozkład Paley-Littlewooda, będący rozkładem jedności na poziomie transformaty Fouriera. W naturalny sposób wprowadza to przestrzenie funkcyjne Besova B^s_{p,q} i Triebla F^s_{p,q} -- uogólnienia klasycznych przestrzeni Sobolowa na przestrzenie ułamkowe. Własności takiego spojrzenia powiązane są z osobliwymi operatorami określonymi przez mnożniki fourierowskie. Chodzi tu o twierdzenie Marcinkiewicza uogólniające tożsamość Persevala na przestrzenie L_p. By wykroczyć poza teorie liniowe wymagane jest uogólnienie mnożenia, tj. wprowadzimy pojęcie paraproduktu. Na ćwiczeniach analizowane będą konkretne przykłady jak również rozwiązywać będziemy szczególne zagadnienia z równań cząstkowych związanych z tzw. maksymalną i optymalną regularnością.

Plan wykładu:

1. Podstawowe własności funkcji;

2. Przestrzenie Besova i Triebla, elementy teorii interpolacji

3. Funkcja maksymalna i operatory Zygmunda;

4. Wagi A_p;

5. L_p=F^0_{p,2};

6. Twierdzenia Marcinkiewicza o mnożnikach;

7. Spojrzenia na przypadki graniczne - przestrzenie BMO i Hardy'ego.

8. Paraprodukty i twierdzenia o włożeniu;

9. Zastosowania w równaniach cząstkowych.

Na wykład zapraszam osoby zainteresowane szeroko rozumianą analizą matematyczną. Wykład nie zakłada wiedzy z RRCzI, wymaga znajomości całki Lebesguea oraz elementów analizy funkcjonalnej.

Literatura:

1. J. Duoandikoetxea, Fourier analysis. AMS, Providence, RI, 2001.

2. M.E. Taylor, Tools for PDE. Pseudodifferential operators, paradifferential operators, and layer potentials. AMS, Providence, RI, 2000.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.