Analiza harmoniczna
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M10AH |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.134
|
Nazwa przedmiotu: | Analiza harmoniczna |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Skrócony opis: |
Wykład "Analiza harmoniczna" jest przeznaczony dla studentów zainteresowanych szeroko pojętą analizą. Jego celem jest przekazanie wiedzy na temat klasycznych wyników przemiennej analizy harmonicznej i fourierowskiej. Przedmiot ten stanowi doskonały wstęp do nauki zagadnień bardziej szczegółowych oraz abstrakcyjnych. Wymagana jest znajomość analizy na poziomie pierwszych dwóch lat studiów oraz wiedza wchodząca w zakres funkcji analitycznych i analizy funkcjonalnej I (zaliczanie równoczesne tych wykładów jest wystarczające). |
Pełny opis: |
Poniższa lista zawiera spis zagadnień, które będą poruszane na wykładzie, lecz dokładny dobór materiału zależał będzie od preferencji oraz przygotowania uczestników. 1. Wprowadzenie historyczne. Algebra funkcji całkowalnych na okręgu. Współczynniki Fouriera. 2. Lemat Riemanna-Lebesgue'a. Jądra aproksymatywne (Fejera, Poissona) oraz wnioski o sumowalności średnich Fejera i Poissona w języku jednorodnych przestrzeni Banacha. Twierdzenia Weierstrassa o aproksymacji wielomianami trygonometrycznymi. 3. Zagadnienie zbieżności średnich Fejera i Poissona prawie wszędzie (twierdzenia Fejera, Lebesgue'a i Fatou). 4. Rząd zbieżności współczynników Fouriera w zależności od własności funkcji. 5. Szeregi Fouriera funkcji całkowalnych z kwadratem (twierdzenia Riesza-Fischera, Parsevala, Plancherela). 6. Algebra absolutnie zbieżnych szeregów Fouriera. 7. Zbieżność punktowa szeregów Fouriera (kryteria Lipschitza, Diniego i podobne) 8. Wyniki negatywne - przykład Kołmogorowa, istnienie funkcji ciągłych o tu i ówdzie rozbieżnym szeregu Fouriera. 9. Przestrzenie Hardy'ego. Funkcja sprzężona. 10. Twierdzenia Kołmogorowa (o słabym typie) i Zygmunda. Transformata Riesza i Hilberta oraz wniosek o zbieżności szeregów Fouriera w Lp dla p>1. 11. Nierówność Hilberta, twierdzenie Hardy'ego-Littlewooda, twierdzenie Braci Rieszów (o miarach analitycznych). 12. Teoria Calderona-Zygmunda. 13. Wstęp do operatorów mnożnikowych. Twierdzenie Hormandera-Michlina. 14. Twierdzenie McGehee-Pigno-Smith + Konyagin (rozwiązanie hipotezy Littlewooda). 15. Podstawowe informacje o współczynnikach Fouriera-Stieltjesa miary. Ciągi dodatnio określone. Twierdzenie Herglotza. 16. Miary idempotentne i twierdzenie Helsona. |
Literatura: |
- W. Rudin, Fourier Analysis on Groups - A. Zygmund, Trigonometric Series - C.C. Graham, O. C. McGehee, Essays in Commutative Harmonic Analysis - E. M. Stein and G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis in Euclidean Spaces - Y. Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis - R. E. Edwards, Fourier Series, a Modern Introduction - E. Hewitt and K. A. Ross, Abstract Harmonic Analysis - E. M. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis, an Introduction - H. Helson, Harmonic Analysis - T. W. Korner, Fourier Analysis - A. Torchinsky, Real Variable Methods in Harmonic Analysis |
Efekty uczenia się: |
Student po odbyciu kursu "analiza harmoniczna": 1. Zna i rozumie podstawowe pojęcia teorii szeregów Fouriera. 2. Potrafi zastosować wiedzę o rozwinięciach w szeregi Fouriera do wykazania klasycznych wyników analizy. 3. Rozumie, dlaczego problem sumowalności szeregów Fouriera jest istotnie łatwiejszy niż problem ich zbieżności. 4. Jest w stanie za pomocą twierdzeń analizy funkcjonalnej wykazać istnienie funkcji ciągłych o rozbieżnym w pewnym punkcie szeregu Fouriera. 5. Umie wskazać jak odpowiednie warunki gładkości wpływają na współczynniki Fouriera. 6. Zna podstawowy język abstrakcyjnej analizy harmonicznej (np. operatory mnożnikowe i słabego typu) oraz potrafi podać przykład jej zastosowania do klasycznych problemów zbieżności szeregów Fouriera. 7. Rozumie różnice pomiędzy analizą harmoniczną w przypadku miar i w przypadku funkcji. |
Metody i kryteria oceniania: |
Na koniec semestru przewidziany jest egzamin pisemny, którego wynik wraz z aktywnością na ćwiczeniach będzie podstawą do zaproponowania oceny. Osoby zainteresowane jej poprawą zostaną zaproszone na egzamin ustny. Najaktywniejsze osoby na ćwiczeniach mogą zostać zwolnione z egzaminu z oceną bardzo dobrą. |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.