Procesy Levy'ego i procesy stabilne
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M13PLS |
Kod Erasmus / ISCED: | (brak danych) / (brak danych) |
Nazwa przedmiotu: | Procesy Levy'ego i procesy stabilne |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | (brak danych) |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Założenia (opisowo): | Wymagane jest wcześniejsze zaliczenie Rachunku Prawdopodobieństwa I i II. Zakładana będzie także znajomość podstaw ogólnej teorii procesów stochastycznych (konstrukcja procesu stochastycznego, proces Wienera i Poissona, własności trajektorii, pojęcie filtracji z czasem ciągłym, momentu zatrzymania,itp, tj. materiał omawiany np. na początku wykładu ze Wstępu do Analizy Stochastycznej) bądź też Wstępu do Procesów Stochastycznych. |
Skrócony opis: |
Wykład poświęcony będzie omówieniu wybranych zagadnień dotyczących dwóch ważnych (nie rozłącznych) klas procesów: procesów Levy'ego, tj. procesów o niezależnych stacjonarnych przyrostach oraz procesów stabilnych. Omówione zostaną własności i różne reprezentacje tych procesów, a także twierdzenia graniczne. Jeśli na wykład nie zarejestrują się słuchacze obcojęzyczni, zajęcia będą prowadzone po polsku. |
Pełny opis: |
Planowane jest omówienie następujących zagadnień: Miara losowa Poissona. Konstrukcja i własności. Całkowanie. Rozkłady nieskończenie podzielne, twierdzenie Levy'ego-Chinczyna o reprezentacji funkcji charakterystycznej rozkładu nieskończenie podzielnego. Twierdzenie o zbieżności do rozkładu nieskończenie podzielnego (odpowiednik centralnego twierdzenia granicznego). Procesy Levy'ego - procesy o niezależnych i stacjonarnych przyrostach. Szczególny przykład - stabilne procesy Levy'ego. Twierdzenie Levy'ego-Ito o reprezentacji procesu Levy'ego za pomocą miary losowej Poissona i niezależnego od niej procesu Wienera. Własności (np. własności trajektorii, momenty, powracalność i tranzytywność, asymptotyczne zachowanie dla małych i dużych czasów). Subordynacja. Faktoryzacja Wienera-Hopfa. Procesy Levy'ego bez skoków dodatnich. Moment przejścia powyżej ustalonego poziomu. Proces takich momentów przejścia jako subordynator. Przykłady twierdzeń granicznych, w których procesy Levy'ego pojawiają się jako granice. Procesy stabilne. Ogólna postać rozkładów stabilnych na prostej. Reprezentacja zmiennych losowych stabilnych w postaci szeregów. Wielowymiarowe rozkłady stabilne. Funkcja charakterystyczna i miara spektralna. Mierzenie zależności - kowariacja i kodyferencja. Niezależnie rozproszona miara losowa stabilna i procesy stabilne będące całkami względem tej miary. Własności. Reprezentacja poissonowska. Przykłady procesów stabilnych (ułamkowe procesy stabilne, stabilny proces Ornsteina Uhlenbecka). Twierdzenia graniczne. Samopodobne procesy stabilne. Szczególny przypadek - procesy Gaussa: ułamkowy ruch Browna i inne procesy typu ułamkowego. Własności i reprezentacje. Ułamkowy ruch Browna jako granica funkcjonałów związanych z układami cząstek alfa-stabilnych Levy'ego. Możliwe są pewne zmiany w zależności od przygotowania oraz zainteresowań słuchaczy. |
Literatura: |
Applebaum, D.:Levy processes and stochastic calculus Bertoin, J. Levy processes Kallenberg, O.: Foundations of modern probability, Springer, 2001. Kyprianou. A.E.: Introductory lectures on Fluctuations of Levy processes, Springer, 2006. Sato, K-I.: Levy processes and infinitely divisible distributions, Cambridge University Press, 2005. Samorodnitsky G., Taqqu: Stable non-Gaussian random processes, Chapman & Hall/CRC, 2000. |
Efekty uczenia się: |
Student 1. Potrafi skonstruować miarę losową Poissona o zadanej mierze intensywności. 2. Zna pojęcie rozkładu nieskończenie podzielnego oraz postać jego funkcji charakterystycznej. 3. Zna twierdzenie i potrafi udowodnić w konkretnych przypadkach zbieżność do rozkładu nieskończenie podzielnego. 4. Zna pojęcie procesu Levy'ego. Potrafi podać jego opis oraz konstrukcję przy zadanej charakterystyce. 5. Potrafi odczytać własności procesu Levy'ego z jego miary Levy'ego oraz współczynników dryfu i dyfuzji. 6. Zna definicje rozkładu stabilnego i procesu stabilnego i role parametrów rozkładu. 7. Zna pojęcie całki względem miary losowej stabilnej, potrafi wyznaczyć parametry zmiennych losowych/procesów stabilnych takiej postaci. 8. Zna metody mierzenia zależności zmiennych losowych stabilnych. 9. Potrafi podać przykłady modeli, w których jako granice pojawiają się procesy Levy'ego oraz procesy stabilne. |
Metody i kryteria oceniania: |
Egzamin. Uwzględniana będzie także aktywność na ćwiczeniach. |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.