Rola teorii miary we współczesnym rachunku wariacyjnym

monograficzne

Wykład zakłada obycie z teorią miary. Jest dostępny dla studentów od etapu magisterskiego i ambitnych studentów pierwszego etapu studiów.

lektura monograficzna
w sali

Zostanie przedstawiona ta część rachunku wariacyjnego, gdzie istotną rolę grają obiekty definiowane poprzez miary. Są to m.in. funkcjonały określona na przestrzeniach miar Radona, czy na przestrzeniach Sobolewa względem miar. Zostanie przedstawiona motywacja do takich rozważań.

Przedstawione będzie pojęcie zagadnienia dualnego i konieczny wstęp do analizy wypukłej. Jako zastosowanie przedstawione będzie zagadnienie Monge'a optymalnego transportu miary.

Szczególna rola teorii miary w rachunku wariacyjnym ujawnia się, gdy mamy do czynienia z zagadnieniami minimalizacyjnymi na zbiorach o niższym wymiarze niż otaczająca przestrzeń. Przykłady pojawiają się przy optymalizacji rozłożenia przewodnika w obszarze projektowym, teorii kratownic, czy teorii transportu optymalnego.

Pojawiają się w takich przypadkach funkcjonały naturalnie określone na miarach. Badając istnienie punktów minimalnych tychże funkcjonałów musimy wykazać ich dolną półciągłość. W tym celu przedstawimy twierdzenie Reszetniaka i twierdzenie o plasterkowaniu miar, które jest ciekawe z ogólnego punktu widzenia. Przestawimy też zaskakujące wyniki w tej dziedzinie z pracy [BBS].

Poszukiwanie stacjonarnych równania ciepła na zbiorach bez klarownej struktury różniczkowej odbywa się za pomocą minimalizacji odpowiedniego funkcjonału. Narzędzie badawcze jakie tu się pojawia, to przestrzeń styczna do miary. Z jej pomocą można zdefiniować wariant przestrzeni Sobolewa W^{1,p}_mu. Pojawia się też naturalny problem ciągłej zależności przestrzeni W^{1,p}_mu od zbioru, na którym jest ona określona. W tym cele zbadany odpowiedni fragment teorii Gamma-zbieżności.

Ważnym pojęciem analizy wypukłej jest `zagadnienia dualne', [ET]. Bywa, że jest ono prostsze niż zagadnienie pierwotne. Pozwala też na konstrukcje rozwiązań zagadnienia pierwotnego, [V]. Przykładem jest zagadnienie Monge'a optymalnego transportu miary. Oprócz tego, rozważanie zagadnień dualnych jest jednym ze sposobów znajdowania relaksacji funkcjonałów, [ET].

1. [ABM] Attouch, Hedy; Buttazzo, Giuseppe; Michaille, Gérard Variational analysis in Sobolev and BV spaces. Applications to PDEs and optimization. MPS/SIAM Series on Optimization, 6. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA; Mathematical Programming Society (MPS), Philadelphia, PA, 2006.

2. [BBS] G.Bouchitte, G.Buttazzo, P.Seppecher, Energies with respect to a measure and applications to low-dimensional structures, Calc. Var. Partial Differential Equations, 5 (1997), no. 1, 37--54.

3. [ET] Ekeland, Ivar; Témam, Roger Convex analysis and variational problems. Translated from the French. Corrected reprint of the 1976 English edition. Classics in Applied Mathematics, 28. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1999

4. [V] Villani, Cédric Topics in optimal transportation. Graduate Studies in Mathematics, 58. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003

inna podana wykładzie

1) Słuchacz zna i rozumie podstawowe zagadnienia rachunku wariacyjnego, zna i rozumie elementy analizy wypukłej;

2) Słuchacz zna i rozumie podstawowe zagadnienia minimalizacyjne na przestrzeni miar Radona.

3) Słuchacz zna i rozumie konstrukcję przestrzeni Sobolewa względem miary.

4) Słuchacz zna i rozumie zagadnienia dualnego w analizie wypukłej.

Uczestnictwo w zajęciach, napisanie pracy zaliczeniowej na uzgodniony temat i rozmowa o tejże pracy.