Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Elementy geometrycznej teorii miary w wariacyjnym podejściu do przetwarzania i analizy obrazów

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-1M19GTM Kod Erasmus / ISCED: 11.1 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Elementy geometrycznej teorii miary w wariacyjnym podejściu do przetwarzania i analizy obrazów
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty monograficzne dla IV - V roku matematyki
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: angielski
Rodzaj przedmiotu:

monograficzne

Pełny opis:

Łatwo jest wskazać ważne zadania w przetwarzaniu i analizie obrazów, są to odszumianie i odnajdowanie konturów. Chcę przedstawić te metody, które wykorzystują rachunek wariacyjny i równania różniczkowe, ale koniecznym jest wprowadzenie w samą reprezentację obrazów.

Zajmiemy się algorytmem Rudina-Oshera-Fatemiego (ROF) i funkcjonałem Mumforda-Shaha (MSh). Minimalizowanie funkcjonału ROF wymaga określenia go na przestrzeni funkcji o wahaniu ograniczonym - BV. Pochodne takich funkcji są miarami. Z drugiej strony samo sformułowanie funkcjonału MS wymaga posłużenia się miarą Hausdorffa.

Wykład w istotnym stopniu będzie się opierał na książkach [CS] i [D]. Jednakże lokalna grupa badawcza (Łasica, Mucha, Muszkieta, Rybka) ma wkład w rozwój teorii, o czym wspomnimy.

Wspomniany algorytm ROF jest stosowany do odszumiania obrazów a jednocześnie ma on dobrze odtwarzać krawędzie. Krawędzie na obrazie pojawiają się tam, gdzie są skoki w jasności. To właśnie funkcje z przestrzeni BV mogą mieć skokowe nieciągłości, dlatego pojawiają się tu w sposób naturalny. Opowiemy dlaczego istnieją rozwiązania zagadnienia minimalizacyjnego w algorytmie ROF i jakie są właściwości punktów minimalnych. Może się okazać, że okazać, że rozwiązanie jest zerowe (nie ma obrazu), przy niezerowych danych wejściowych (składają się one tylko z szumu), patrz [Me], [Mu].

Funkcjonał MS służy do dzielenia obrazu. Jedną niewiadomych jest powierzchnia, jej miara Hausdorffa jest jednym ze składników funkcjonału. Przedyskutujemy istnienie punktów minimalnych i ich właściwości.

Zajmiemy się też nieoczekiwanym aspektem algorytmu ROF. Okazuje się, że iterowanie minimalizowania funkcjonału ROF prowadzi do nietypowych zagadnień ewolucyjnych. Zostanie przedstawiony wymagany materiał wstępny. Przedstawimy też nowe wyniki z tego obszaru.

Literatura:

[CS] T.F.Chan, J.Shen, Image processing a analysis, SIAM, Filadelfia, 2005

[D] G.David, Singular sets of minimizers for the Mumford-Shah functional, Birkhauser, Bazylea, 2005

[Me] Y.Meyer, Oscillating patterns in image processing and nonlinear evolution equations. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001

[Mu] P.B.Mucha, Regular solutions to a monodimensional model with discontinuous elliptic operator, Interfaces Free Bound. 14 (2012), no. 2, 145-152.

Zajęcia w cyklu "Semestr letni 2019/20" (w trakcie)

Okres: 2020-02-17 - 2020-08-02
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Wykład monograficzny, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Piotr Rybka
Prowadzący grup: Piotr Rybka
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.