Klasy charakterystyczne wiązek wektorowych i ich zastosowania
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M19KCW |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Klasy charakterystyczne wiązek wektorowych i ich zastosowania |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty 4EU+ (z oferty jednostek dydaktycznych) Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Kierunek podstawowy MISMaP: | fizyka |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Założenia (lista przedmiotów): | Topologia algebraiczna 1000-135TA |
Założenia (opisowo): | Znajomość singularnej teorii (ko-)homologii lub kohomologii de Rhama. |
Tryb prowadzenia: | mieszany: w sali i zdalnie |
Skrócony opis: |
Wiązki wektorowe i ich homotopijna klasyfikacja. Aksjomaty klas charakterystycznych i dowód ich istnienie przy pomocy zasady rozszczepiania zaś dla wiązek rzeczywistych także kwadratów Steenroda. Interpretacja klas charakterystycznych jako przeszkód do istnienia przekrojów wiązek. Zastosowania klas charakterystycznych do problemów geometrycznych m.in. badania zanurzalności rozmaitości w przestrzenie euklideoswe i paralelyzowalności rozmaitości gładkich. Liczby charakterystyczn i bordyzm rozmaitości. |
Pełny opis: |
1. Rzeczywiste i zespolone wiązki wektorowe; przeniesienie konstrukcji z algebry liniowej. Pull-back. Grupa strukturalna wiązki wektorowej. Orientowalność. Metryka Riemanna. Wiązki styczne i normalne. Wiązka kanoniczna. 2. Klasyfikacja homotopijna wiązek wektorowych. Izomorfizm grupy wiązek 1-wymiarowych i grup kohomologii. 3. Uogólnione multypliktywne teorie kohomologii. Tw. Leray-Hirscha. Orientacja wiązek. Równoważność geometrycznej i kohomologicznej definicji orientowalności. Complex oriented cohomology 4. Aksjomatyczna definicja klas charakterystycznych wiązek. 5. Konstrukcja klas charakterystycznych Stiefela-Whitneya i Cherna przez zasadę rozszczepiania. Klasy Pontriagina. 6. Operacje kohomologiczne. Kwadraty Steenroda. Klasy SW przez kwadraty Steenroda. Klasy SW rozmaitości topologicznych. 7. Teoria przeszkód i interpretacja klas Stiefela-Whitneya i Cherna w tych terminach. 8. Klasy Cherna w kohomologiach de Rhama (info) 9. Zastosowania geometryczne klas charakterstycznych: twierdzenia o zanurzaniu rozmaitości w przestrzeń euklidesową; paralelyzowalność orientowalnych, zamkniętych rozmaitości 3-wymiarowych. 10. Liczby charakterystyczne i genusy. Bordyzm rozmaitości. Twierdzenie Hirzebrucha o sygnaturze |
Literatura: |
Robert R. Bruner, Michael Catanzaro, J. Peter May Characteristic classes. 1974 Ralph L. Cohen The Topology of Fiber Bundles. Lecture Notes, Dept. of Mathematics, Stanford University. 1998 E. Dyer, Cohomology theories, Lecture Note Series, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969 D. Husemoller Fiber Bundles. Third Edition. Graduate Texts in Mathematics 20. Springer 1993 Ib Madsen Lectures on Characteristic Classes in Algebraic Topology. 1986 John Milnor & James D. Stasheff Characteristic Classes. Annals of Mathematics Studies 76, Princeton University Press. Robert M. Switzer, Algebraic topology— homotopy and homology. Die Grundlehren der math. Wissenschaften, Band 212, Springer- Verlag, Berlin, 1975 |
Efekty uczenia się: |
1. Znajomość pojęcia wiązki wektorowej, podstawowych konstrukcji oraz klasyfikacji homotopijnej wiązek. Znajomość rzeczywistych i zespolonych rozmaitości Grassmanna oraz ich pierścienia kohomologii. 2. Zrozumienie zasady rozszczepiania i konstrukcji klas charakterystycznych. 3. Umiejętność zinterpretowania klas charakterystycznych jako przeszkód do istnienia przekrojów. 4. Znajomość kwadratów Steenroda i wyrażenia klas charakterystycznych przy ich pomocy. 5. Umiejętność policzenia klas charakterystycznych przykładów wiązek oraz zastosowania ich do rozwiązywania zadań dotyczących własności geometrycznych i topologicznych rozmaitości gładkich. |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.