Prawdopodobieństwo w grafach
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M19PNG |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Prawdopodobieństwo w grafach |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Skrócony opis: |
Wykład będzie poświęcony procesom losowym na dyskretnych obiektach takich jak grafy, grupy skończone, permutacje, łańcuchy Markowa. Wśród omówionych tematów będą m.in. grafy losowe (model Erdosa-Renyi'ego, grafy d-regularne) i występujące w nich przejścia fazowe, błądzenia losowe i ich czasy mieszania, permutacje losowe, ekspandery i spektralna teoria grafów, a jeśli starczy czasu - związki między grafami skończonymi a nieskończonymi (granice grafów w sensie Benjaminiego-Schramma). |
Pełny opis: |
Wykład będzie poświęcony prawdopodobieństwu na dyskretnych strukturach takich jak grafy, grupy, permutacje. Jest to aktualnie żywo rozwijająca się tematyka mająca bliskie związki z kombinatoryką, teorią grup, fizyką statystyczną, informatyką teoretyczną. Poznamy wybrane metody probabilistyczne i geometryczne służące do analizy błądzeń losowych, łańcuchów Markowa, własności spektralnych grafów, przejść fazowych. Wśród omówionych tematów znajdą się m.in.: - podstawy teorii grafów losowych (model Erdosa-Renyi'ego, losowe grafy d-regularne, przejścia fazowe w grafach losowych) - czasy mieszania w łańcuchach Markowa (tasowanie kart, coupling, metody spektralne, cut-off) - permutacje losowe (proces wymiany i jego struktura cyklowa, rozkład Poissona-Dirichleta, metody z teorii reprezentacji) a jeśli czas nam na to pozwoli, to także: - spektralna teoria grafów (nierówność Cheegera, ekspandery, grafy Ramanujana) - granice grafów w sensie Benjaminiego-Schramma, podstawowe własności spektralne grafów nieskończonych W zależności od zainteresowań słuchaczy mogą pojawić się dodatkowe tematy (np. perkolacja na grafach skończonych, zastosowania non-backtracking random walk, związki z geometryczną teorią grup, metoda probabilistyczna w kombinatoryce). Wykład przewiduję raczej dla ambitniejszych studentów, czy może bardziej precyzyjnie - dla osób chcących włożyć trochę pracy w solidne nauczenie się czegoś, np. poprzez regularne rozwiązywanie prac domowych i spisywanie notatek z wykładu. W zamian obiecuję dobrą zabawę przy poznawaniu nowej matematyki. |
Literatura: |
R. Lyons, Y. Peres "Probability on Trees and Networks" G. Pete "Probability on Graphs and Groups" L. Saloff-Coste "Random Walks on Finite Groups" S. Janson, T. Łuczak, A. Ruciński "Random Graphs" D. Levin, Y. Peres "Markov Chains and Mixing Times" F. Chung "Spectral Graph Theory" |
Efekty uczenia się: |
Satysfakcja z poznania nowego kawałka matematyki. Poczucie dobrze spędzonego czasu. Znajomość problemów i metod występujących w rachunku prawdopodobieństwa na dyskretnych strukturach. |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.