Algebry operatorów dające się widzieć
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M20AOW |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Algebry operatorów dające się widzieć |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Skrócony opis: |
Grafy: skończone ścieżki w grafach zorientowanych, dziedziczne i nasycone podzbiory wierzchołków, dopuszczalne podgrafy, morfizmy i morfizmy Leavitta grafów. Algebry grafowe: algebry ścieżkowe, algebry ścieżkowe Leavitta, grafowe C*-algebry, od pushoutów grafów do pullbacków grafowych C*-algebr. |
Pełny opis: |
Grafowe C*-algebry okazały się niezwykle skuteczne w badaniu K-teorii algebr operatorowych. Obecnie są przedmiotem intensywnych badań w dziedzinie nieprzemiennej topologii, ciesząc się dużą ilością nowych wyników. Celem tego wykładu jest przedstawienie podstaw grafów zorientowanych (kołczanów) tak aby nauczyć od początku i w systematyczny sposób teorii grafowych C*-algebr. Wykład rozpoczyna się od odpowiedzi na podstawowe pytania dotyczące ścieżek w grafach. W szczególności, pokazujemy jak użyć szeregu algorytmów kończących aby udowodnić twierdzenie o ilości skończonych ścieżek w skończonych grafach bez pętli. Następnie pojawiają się definicje dziedzicznych i nasyconych podzbiorów wierzchołków grafu, a potem koncepcja dopuszczalnych podgrafów. Ilustrujemy ideę dopuszczalności udowadniając że, jeśli istnieje przecięcie dwóch grafów i jest dopuszczalnym podgrafem obu grafów, to istnieje również graf sumy i oba grafy są jego dopuszczalnymi podgrafami. Kończymy zajmowanie się grafami wprowadzając standardowe morfizmy grafów i pokazując w jaki sposób ewoluują one w morfizmy Leavitta grafów. Algebra ścieżkowa grafu jest zdefiniowana jako liniowa powłoka wszystkich skończonych ścieżek grafu z mnożeniem danym przez składanie ścieżek. Zatem liczba skończonych ścieżek w grafie jest wymiarem jego algebry ścieżkowej. Następnie, kluczowym krokiem jest wprowadzenie relacji Cuntza-Kriegera w algebrze ścieżkowej rozszerzenego grafu - definiują one algebrę ścieżkową Leavitta tego grafu jako iloraz algebry ścieżkowej rozszerzenia tego grafu przez ideał generowany przez relacje Cuntza-Kriegera. Biorąc ciało liczb zespolonych za ciało podstawowe algebry ścieżkowej Leavitta grafu i definiując inwolucję przy pomocy rozszerzenia tego grafu, otrzymujemy zespoloną *-algebrę. Teraz możemy zdefiniować grafowe C*-algebry jako uniwersalne C*-algebry obwiednie algebr ścieżkowych Leavitta. Kluczowe wyniki, które będą tu przedstawione, dotyczą reprezentacji na przestrzeni Hilberta i struktury ideałów grafowych C*-algebr. Wykład kończy się zastosowaniami w topologii nieprzemiennej. Po pierwsze, udowadniamy że, poprzez wyposażenie grafów w morfizmy Leavitta, przypisanie grafowi grafowej C*-algebry staje się kontrawariantnym funktorem do kategorii C*-algebr i *-homomorfizmów. Następnie pokazujemy kiedy ten kontrawariantny funktor przekształca pushouty grafów w pullbacki grafowych C*-algebr. Wszystko to jest ilustrowane mnóstwem naturalnych przykładów zakorzenionych w klasycznej topologii. |
Literatura: |
1. Graph Algebras, Piotr M. Hajac, Mariusz Tobolski, arxiv 1912.05136. 2. Leavitt Path Algebras, Gene Abrams, Pere Ara, Mercedes Siles Molina. 3. Algebras and Representation Theory, Karin Erdmann, Thorsten Holm. 4. C*-algebras and Operator Theory, Gerard J. Murphy. |
Efekty uczenia się: |
Zdobycie praktycznej wiedzy na temat grafowych C*-algebr pozwalającej na rozpoczęcie badań naukowych w tej dziedzinie matematyki. W zależności od poziomu zaangażowania, wykład ten może prowadzić do pracy magisterskiej lub doktorskiej. |
Metody i kryteria oceniania: |
systematyczne uczestniczenie w zajęciach lub egzamin ustny. |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.