Niestandardowe modele arytmetyki
Informacje ogólne
Kod przedmiotu: | 1000-1M22NMA |
Kod Erasmus / ISCED: |
11.1
|
Nazwa przedmiotu: | Niestandardowe modele arytmetyki |
Jednostka: | Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki |
Grupy: |
Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka |
Punkty ECTS i inne: |
(brak)
|
Język prowadzenia: | angielski |
Rodzaj przedmiotu: | monograficzne |
Założenia (opisowo): | Zakłada się, że student zna podstawowe pojęcia i fakty z teorii mnogości i logiki matematycznej, na przykład na poziomie kursów Wstęp do matematyki i Logika matematyczna na Wydziale MIM UW. |
Tryb prowadzenia: | w sali |
Skrócony opis: |
Arytmetyka Peano (PA) to kanoniczna teoria aksjomatyzująca własności liczb naturalnych, którą z dokładnością do standardowego tłumaczenia na język teorii mnogości można traktować jako kanoniczną teorię zbiorów i obiektów skończonych. Wykład będzie wprowadzeniem w tematykę niestandardowych – czyli nieizomorficznych z liczbami naturalnymi – modeli PA i jej podteorii. Omówimy zarówno wyniki dotyczące struktury modeli niestandardowych, jak i zastosowania takich modeli w dowodzeniu twierdzeń o niedowodliwości. |
Pełny opis: |
Arytmetyka Peano (PA) to kanoniczna teoria aksjomatyzująca własności zbioru liczb naturalnych z dodawaniem i mnożeniem. Z dokładnością do standardowego tłumaczenia między językiem arytmetyki a językiem teorii mnogości, PA można traktować jako "teorię skończonych obiektów matematycznych", tj. teorię mnogości Zermelo-Fraenkla z aksjomatem istnienia zbioru nieskończonego zastąpionym jego negacją. Z podstawowych twierdzeń logiki matematycznej wynika, że PA ma modele niestandardowe, czyli nieizomorficzne z modelem zamierzonym. Wykład będzie wprowadzeniem w tematykę niestandardowych modeli arytmetyki. Omówimy zarówno klasyczne wyniki dotyczące struktury modeli niestandardowych, jak i (niekiedy zupełnie niedawne) zastosowania takich modeli w dowodzeniu twierdzeń orzekających o niedowodliwości pewnych zdań w określonych systemach aksjomatycznych. W trakcie semestru omówimy następujące tematy: 1. PA i jej fragmenty. Związki między definiowalnością i obliczalnością. Podstawowe fakty na temat struktury modeli: typ porządkowy, przekroje, rozszerzenia końcowe. 2. Typy w arytmetyce. Modele rekurencyjnie nasycone, resplendencja. Modele punktowo definiowalne, separacje między fragmentami PA. 3. Słaby lemat Königa (WKL). Konstruowanie modeli za pomocą zarytmetyzowanego twierdzenia o pełności. Zbiory Scotta i systemy standardowe. 4. Zaawansowane wyniki na temat przekrojów i rozszerzeń końcowych. Twierdzenia Friedmana i Tanaki o samozanurzeniach. Twierdzenie MacDowella-Speckera o istnieniu elementarnych rozszerzeń końcowych. 5. Dowodzenie niedowodliwości za pomocą przekrojów: przekroje półregularne, tzw. metoda indykatorów, częściowa konserwatywność WKL nad arytmetyką pierwotnie rekurencyjną. 6. Wyniki współczesne: twierdzenie Pateya-Yokoyamy o częściowej konserwatywności twierdzenia Ramseya dla par nad arytmetyką pierwotnie rekurencyjną. Problem charakteryzacji arytmetycznych konsekwencji twierdzenia Ramseya dla par. W zależności od czasu i zainteresowań uczestników, możemy też przerobić albo omówić dodatkowe tematy, takie jak twierdzenie Parisa-Harringtona, automorfizmy modeli arytmetyki i modele kardynałopodobne. |
Literatura: |
1. Richard Kaye, Models of Peano Arithmetic, Oxford 1991. 2. Roman Kossak, James H. Schmerl, The Structure of Models of Peano Arithmetic, Oxford 2006. 3. Notatki Tin Lok Wonga do kursu "Model theory of arithmetic", https://blog.nus.edu.sg/matwong/teach/modelarith/ 4. Wybrane artykuły badawcze. |
Efekty uczenia się: |
Student: 1. zna definicję Arytmetyki Peano (PA) i rozumie jej rolę w podstawach matematyki. 2. rozumie pojęcie niestandardowego modelu arytmetyki i zna podstawowe fakty na temat struktury takich modeli. 3. zna klasyczne twierdzenia na temat rozszerzeń i podstruktur modeli niestandardowych. 4. zna przykłady zastosowań modeli niestandardowych do separowania teorii aksjomatycznych i dowodzenia twierdzeń o niedowodliwości. |
Metody i kryteria oceniania: |
Egzamin. |
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.