Przestrzenie Sobolewa między rozmaitościami Riemanna

Informacje ogólne

Kod przedmiotu:	1000-1M22PSRR
Kod Erasmus / ISCED:	11.1 Kod klasyfikacyjny przedmiotu składa się z trzech do pięciu cyfr, przy czym trzy pierwsze oznaczają klasyfikację dziedziny wg. Listy kodów dziedzin obowiązującej w programie Socrates/Erasmus, czwarta (dotąd na ogół 0) – ewentualne uszczegółowienie informacji o dyscyplinie, piąta – stopień zaawansowania przedmiotu ustalony na podstawie roku studiów, dla którego przedmiot jest przeznaczony. / (0541) Matematyka Kod ISCED - Międzynarodowa Standardowa Klasyfikacja Kształcenia (International Standard Classification of Education) została opracowana przez UNESCO.
Nazwa przedmiotu:	Przestrzenie Sobolewa między rozmaitościami Riemanna
Jednostka:	Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy:	Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia Przedmioty obieralne na studiach drugiego stopnia na kierunku bioinformatyka
Punkty ECTS i inne:	(brak) Podstawowe informacje o zasadach przyporządkowania punktów ECTS: roczny wymiar godzinowy nakładu pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się dla danego etapu studiów wynosi 1500-1800 h, co odpowiada 60 ECTS; tygodniowy wymiar godzinowy nakładu pracy studenta wynosi 45 h; 1 punkt ECTS odpowiada 25-30 godzinom pracy studenta potrzebnej do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się; tygodniowy nakład pracy studenta konieczny do osiągnięcia zakładanych efektów uczenia się pozwala uzyskać 1,5 ECTS; nakład pracy potrzebny do zaliczenia przedmiotu, któremu przypisano 3 ECTS, stanowi 10% semestralnego obciążenia studenta. zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia:	angielski
Rodzaj przedmiotu:	monograficzne
Założenia (opisowo):	Wykład zakłada wiedzę ze Wstępu do równań różniczkowych cząstkowych (w tym podstawowe informacje o słabych pochodnych) oraz kursu Analizy matematycznej II.1 i II.2. Pomocna będzie też podstawowa znajomość geometrii różniczkowej i analizy funkcjonalnej.
Skrócony opis:	Przestrzenie Sobolewa między rozmaitościami riemannowskimi nie są przestrzeniami liniowymi. Z topologicznego punktu widzenia przestrzenie Sobolewa między rozmaitościami są dużo bogatsze od klasycznych przestrzeni Sobolewa, w szczególności mają bogatą strukturę klas homotopii. Podstawowym narzędziem równań różniczkowych cząstkowych jest gęstość gładkich funkcji w przestrzeni Sobolewa, ten fakt jednak nie pozostaje prawdziwy dla przekształceń Sobolewa między rozmaitościami. W czasie zajęć prześledzimy podstawowe zagadnienia, podobieństwa i różnice z klasycznymi przestrzeniami Sobolewa: teorię aproksymacji i teorię homotopi w ramach przestrzeni Sobolewa, a takżę teorię śladów i teorię podniesień w przestrzeniach Sobolewa.
Pełny opis:	Różne zjawiska fizyczne lub biologiczne można modelować za pomocą funkcji, które są rozwiązaniami równań różniczkowych cząstkowych. W naturze obserwujemy osobliwości, jak na przykład w wirze, który formuje się gdy spuszczamy wodę ze zlewu, osobliwość występuje w środku wirowania w wyniku wysokich prędkości w tym punkcie. Aby poprawnie ustawić model, musimy rozważyć rozwiązania, które niekoniecznie są ciągłe, ale należą jedynie do przestrzeni Sobolewa. Wybór przestrzeni jest częścią modelu. W przypadku wielu problemów, które pojawiają się naturalnie w różnych dziedzinach, takich jak fizyka czy geometria, przestrzenie Sobolewa muszą być ograniczone do przekształceń, które mają wartości w rozmaitościach. Wśród wielu przykładów najprostszymi ilustracjami wydają się być geodezyjne - najkrótsza ścieżka łącząca dwa punkty na danej rozmaitości. Przestrzenie Sobolewa między rozmaitościami riemannowskimi nie są przestrzeniami liniowymi. Z topologicznego punktu widzenia przestrzenie Sobolewa między rozmaitościami są dużo bogatsze od klasycznych przestrzeni Sobolewa, w szczególności mają bogatą strukturę klas homotopii. Podstawowym narzędziem równań różniczkowych cząstkowych jest gęstość gładkich funkcji w przestrzeni Sobolewa, ten fakt jednak nie pozostaje prawdziwy dla przekształceń Sobolewa między rozmaitościami. W czasie zajęć prześledzimy podstawowe zagadnienia, podobieństwa i różnice z klasycznymi przestrzeniami Sobolewa: teorię aproksymacji i teorię homotopi w ramach przestrzeni sobolewa, a takżę teorię śladów i teorię podniesień w przestrzeniach Sobolewa. Tempo i dokładny zakres wykładu zostaną dopasowane do możliwości uczestników. Ćwiczenia będą miały częściowo charakter seminaryjny i poświęcone będą m.in. pojęciom geometrycznym i narzędziom analitycznym odgrywającym rolę w tej dziedzinie. Na wykładzie poruszone zostaną następujące zagadnienia: - Definicja i podstawowe własności klasycznych przestrzeni Sobolewa. - Definicja i motywacje przestrzeni Sobolewa między rozmaitościami. Związki z przekształceniami harmonicznymi i innymi modelami. - Twierdzenia o przybliżaniu przekształceniami gładkimi przekstałceń Sobolewa, kontrprzykłady. - Teoria homotopii w przestrzeniach Sobolewa. - Twierdzenie Gagliardo o śladach w klasycznych przestrzeniach Sobolewa, kontrprzykłady i ogólnienia w teorii przestrzeni Sobolewa między rozmaitościami. - Teoria podniesień w przestrzeniach Sobolewa. - Związki podniesień ze śladami.
Literatura:	Prace oryginalne: 1. Schoen, Richard; Uhlenbeck, Karen A regularity theory for harmonic maps. J. Differential Geometry 17 (1982), no. 2, 307–335. 2. Schoen, Richard; Uhlenbeck, Karen Boundary regularity and the Dirichlet problem for harmonic maps. J. Differential Geom. 18 (1983), no. 2, 253–268. 3. Hang, Fengbo; Lin, Fanghua Topology of Sobolev mappings. II. Acta Math. 191 (2003), no. 1, 55–107. 4. Bourgain, Jean; Brezis, Haïm; Mironescu, Petru Lifting, degree, and distributional Jacobian revisited. Comm. Pure Appl. Math. 58 (2005), no. 4, 529–551.
Metody i kryteria oceniania:	Egzamin ustny. Aby zostać dopuszczonym do egzaminu należy wygłosić referat na ćwiczeniach.

Przedmiot nie jest oferowany w żadnym z aktualnych cykli dydaktycznych.

Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.