Uniwersytet Warszawski - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Metody numeryczne

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 1000-215bMNU Kod Erasmus / ISCED: 11.303 / (0612) Database and network design and administration
Nazwa przedmiotu: Metody numeryczne
Jednostka: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Grupy: Przedmioty obieralne dla III roku bioinformatyki
Przedmioty obowiązkowe dla III roku informatyki
Przedmioty obowiązkowe dla III roku JSIM - wariant 3I+4M
Przedmioty obowiązkowe dla III roku JSIM - wariant 3M+4I
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowe

Wymagania (lista przedmiotów):

Algorytmy i struktury danych 1000-213bASD
Analiza matematyczna inf. II 1000-212bAM2
Geometria z algebrą liniową 1000-211bGAL

Skrócony opis:

Wiele praktycznych zastosowań komputerów (symulacje zjawisk przyrodniczych, społecznych i innych, kodowanie MP3 i JPEG, systemy projektowania CAD, wyszukiwarki internetowe itp.) wymaga przeprowadzenia obliczeń na liczbach rzeczywistych lub zespolonych. W niniejszym wykładzie przedstawiamy metody numerycznego rozwiązywania podstawowych zagadnień matematycznych spotykanych w zastosowaniach. Nacisk kładziemy na efektywne łączenie teorii matematycznej i praktyki obliczeniowej, aby tworzyć skuteczne - a więc szybkie i dokładne (na ile to możliwe) algorytmy wyznaczania rozwiązań. Dyskutujemy własności i ograniczenia omawianych algorytmów, a także wskazujemy praktyczne aspekty ich implementacji. Pokazujemy, że niektóre zadania mogą być trudne w realizacji numerycznej - i że czasem można to sprytnie obejść.

Pełny opis:

1. Rozwiązywanie równanń nieliniowych:

• Metoda Newtona

• Podstawowe pojęcia w numerycznym rozwiązywaniu równań (funkcja iteracyjna, kula zbieżności, wykładnik zbieżności, graniczna dokładność)

• Metoda siecznych

• Metoda Newtona dla układu równań

• Modyfikacje

• Kryteria stopu

2. Arytmetyka zmiennopozycyjna:

• Reprezentacja zmiennopozycyjna liczb

• Arytmetyka i błędy zaokrągleń

• Arytmetyka zmiennopozycyjna zespolona

3. Błędy w obliczeniach:

• Numeryczne uwarunkowanie zadania

• Błędy reprezentacji wektorów

• Numeryczna poprawność i stabilność algorytmu

4. Rozwiązywanie układów równań liniowych:

• Uwarunkowanie układu równań liniowych

• Metody bezpośrednie: metoda eliminacji Gaussa, metoda odbić Householdera, metoda Choleskiego, układy i algorytmy blokowe, szacowanie błędu i iteracyjne

poprawianie rozwiązania

• Metody iteracyjne: metody iteracji prostej, metoda sprzężonych gradientów, poprawianie uwarunkowania

5. Liniowe zadania najmniejszych kwadratów:

• Regularne LZNK

• Dualne LZNK

• Nieregularne LZNK

6. Algebraiczne zagadnienie własne:

• Sformułowanie problemu

• Metoda potęgowa

• Odwrotna metoda potęgowa

• Sprowadzanie macierzy symetrycznej do postaci trójdiagonalnej

• Algorytm QR

7. Interpolacja wielomianowa:

• Sformułowanie zadań interpolacji Lagrange’a i Hermite’a

• Bazy Newtona

• Różnice dzielone i ich własności

• Algorytm różnic dzielonych

• Reszta interpolacyjna

8. Interpolacja funkcjami sklejanymi

• Motywacja dla stosowania funkcji sklejanych

• Obcięte funkcje potęgowe

• Reprezentacja Hermite’a funkcji sklejanych trzeciego stopnia

• Kubiczne interpolacyjne funkcje sklejane klasy C2

• Twierdzenie Holladaya

• Funkcje B-sklejane

• Kubiczne funkcje interpolacyjne w reprezentacji B-sklejanej

• Twierdzenie Schoenberga-Whitney

9. Interpolacja trygonometryczna:

• Trygonometryczne zadanie interpolacji Lagrange’a

• Dyskretna transformata Fouriera

• Algorytm FFT

10. Aproksymacja funkcji:

• Aproksymacja jednostajna: wielomiany i węzły Czebyszewa, _alternans i algorytm Remeza, aproksymacja jednostajna przez funkcje sklejane

• Aproksymacja średniokwadratowa: wielomiany ortogonalne

11. Numeryczne obliczanie całek:

• Kwadratury interpolacyjne

• Zamiana zmiennych

• Kwadratury Gaussa

• Kwadratury złożone

• Ekstrapolacja Richardsona i metoda Romberga

• Uwagi o całkowaniu funkcji wielu zmiennych

12. Wybrane środowiska i biblioteki dla obliczeń numerycznych

Literatura:

1. D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2006.

2. P. Krzyżanowski, Obliczenia inżynierskie i naukowe, PWN, Warszawa 2011

3. J. Jankowska, M. Jankowski, M. Dryja, Przegląd metod i algorytmów numerycznych cz. 1 i 2, WNT Warszawa 1988,

4. G. Dahlquist, A. Bjorck Metody numeryczne, PWN Warszawa 1983

Efekty uczenia się:

Zna podstawowe możliwości i ograniczenia obliczeń numerycznych.

Zna i umie stosować algorytmy rozwiązywania typowych zadań numerycznych.

Zna pojęcia numerycznego uwarunkowania zadania oraz numerycznej poprawności i stabilności algorytmu.

Wie, na co zwracać uwagę podczas dobierania algorytmu do rozwiązania konkretnego zadania.

Zna wybrane biblioteki procedur numerycznych i środowiska do przeprowadzania obliczeń numerycznych dla typowych zadań.

Metody i kryteria oceniania:

Zaliczenie ćwiczeń na podstawie prac domowych, aktywności na zajęciach i projektów komputerowych.

Egzamin pisemny i w wyjątkowych przypadkach ustny.

Zajęcia w cyklu "Semestr zimowy 2020/21" (w trakcie)

Okres: 2020-10-01 - 2021-01-31
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Laboratorium, 15 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Piotr Krzyżanowski
Prowadzący grup: Piotr Kowalczyk, Piotr Krzyżanowski, Leszek Marcinkowski, Mateusz Przyborowski
Strona przedmiotu: https://moodle.mimuw.edu.pl/course/view.php?id=525
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Egzamin
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet Warszawski.