Differential equations: numerical methods

Matematyczny opis procesów fizycznych zwykle wymaga równań różniczkowych, zwyczajnych i cząstkowych. Badania fizyczne obejmują zarówno eksperymenty i analizę danych pomiarowych, jak i symulacje numeryczne. Podczas tego kursu przedstawiane są metody rozwiązywania różnych rodzajów równań różniczkowych mających zastosowanie w fizyce. Omawiane jest zarówno zagadnienie warunku brzegowego, jak i różne warianty zagadnienia warunku początkowego. Prezentowana jest metoda różnic skończonych i podstawy metod elementów skończonych. Główne tematy są następujące:

• Problem minimalizacji, dopasowanie funkcji jednej i więcej zmiennych.

• Metody numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych - metody Runge-Kutte’y różnych rzędów, ze stałym i zmiennym krokiem całkowania.

• Równania różniczkowe cząstkowe - metoda różnic skończonych (FDM)

◦ Zagadnienie warunku brzegowego. Aproksymacja pochodnych schematami różnicowymi, rząd aproksymacji, aproksymacja przy brzegu. Stabilność numeryczna schematu różnicowego i jego zbieżność. Warunki stabilności. Wybrane metody rozwiązywania wielkich układów liniowych o rzadkiej macierzy. Badania tych problemów na przykładzie wybranego układu równań.

◦ Zagadnienie warunku początkowego z różnymi rodzajami warunków brzegowych – równania typu eliptycznego, parabolicznego i hiperbolicznego.

• Metoda Galerkina dla równań mechaniki ośrodków ciągłych (MOC) - metoda elementów skończonych (FEM).

◦ Dyskretyzacja równań metodą Galerkina na wybranym przykładzie równania MOC. Problemy dopasowania do obszaru, uwzględnienie warunków brzegowych i początkowych

• Metoda objętości skończonej.

• Wizualizacja wyników dla MOC.

Efekty uczenia się:

Student potrafi sformułować problem za pomocą układu równań, określić właściwą metodę jego rozwiązania i napisać odpowiedni program. Potrafi wyciągnąć wnioski dotyczące rozwiązania.

Student zdobywa wiedzę na metod wykorzystywanych w gotowych specjalistycznych pakietach do obliczeń matematycznych, dzięki czemu może zrozumieć ich działanie i optymalnie stosować je do rozwiązywania konkretnych problemów. Dzięki tym umiejętnościom jego zakres kompetencji zawodowych zostaje znacząco poszerzony o kwalifikacje poszukiwane na rynku pracy.

Kurs oceniany jest na podstawie wykonanej pracy zaliczeniowej i jej omówienia (zaliczenie na stopień). Tematy prac uzgodnione z prowadzącym.