Methods of higher algebra in physics: from quadratic forms to spinor bundles

Celem wykładu jest zapoznanie Słuchacza_ki ze strukturami, metodami i wynikami klasyfikacyjnymi teorii algebr Clifforda i spinorów (semestr zimowy) oraz z naturalnymi geometryzacjami tychże struktur, więc wiązkami Clifforda i wiązkami spinorowymi z powiązaniem Diraca na rozmaitościach, a wreszcie – z supergeometryczną konstrukcją lagranżowskiej teorii dynamicznych pól fermionowych (semestr drugi). Jako taki wykład stanowi zatem nieodzowne formalne przygotowanie do rozumnej pracy z matematycznymi modelami dynamiki pól podlegających statystyce Fermiego-Diraca wykorzystywanymi powszechnie w fizyce cząstek elementarnych, teorii materii skondensowanej, teorii strun i in.

Pierwszy semestr całorocznego kursu będzie poświęcony teorii algebr Clifforda stowarzyszonych z dowolnymi formami kwadratowymi oraz ich reprezentacji spinorowych i będzie prowadzony z wykorzystaniem języka i elementarnych technik algebry wieloliniowej i teorii kategorii (wprowadzanych na bieżąco). W drugim semestrze zostaną omówione niezbędne konstrukcje teorii wiązek włóknistych z dodatkową strukturą na włóknie (jak np. struktura liniowa, struktura torsora grupy Liego wzgl. rozmaitości z działaniem tej ostatniej) z powiązaniem uzgodnionym z tą strukturą, przy czym językiem wykładu będzie wzbogacany wedle potrzeb język geometrii różniczkowej (lokalny i globalny opis rozmaitości różniczkowalnych i ich struktur stycznościowych etc.) oraz fizykalnie użyteczne elementy języka algebry homologicznej (lokalny snopowy opis wiązek (z powiązaniem), kwantyfikacja obstrukcji wobec istnienia struktur globalnych (np. klasy Stiefela-Whitneya) i klasyfikacja nierównoważnych takich struktur w okolicznościach znikania obstrukcji (np. nierównoważne struktury spinowe na rozmaitości)) – zwieńczeniem tej jego części będzie konstrukcja wiązki spinorowej nad rozmaitością metryczną z naturalnym działaniem wiązki Clifforda i z operatorem Diraca na przestrzeni jej cięć. Na zakończenie wykładu zostaną wprowadzone istotne elementy języka supergeometrii pozwalające, w połączeniu z omówionymi wcześniej klasycznymi konstrukcjami geometrycznymi bez gradacji, nadać ścisły sens wyrażeniom funkcjonalnym (tzw. gęstościom lagranżjanu) modelującym dynamikę pól fermionowych (jak np. chromodynamika pól kwarkowych i gluonowych).

A oto bardziej szczegółowy opis zawartości merytorycznej wykładu:

Semestr I

1. Przypomnienie i uzupełnienie niezbędnych pojęć i konstrukcji algebry liniowej (przestrzenie i odwzorowania liniowe, struktury ilorazowe; truktura (ε-)hermitowska, elementy teorii form kwadratowych).

2. Wprowadzenie do (języka) teorii kategorii i algebry homologicznej: kategorie, funktory, transformacje naturalne, lemat Yonedy; kompleksy (ko)łańcuchów i ich (ko)homologie.

3. Konstrukcje uniwersalne w algebrze liniowej i wieloliniowej: produkt i suma prosta oraz iloczyn tensorowy modułów nad pierścieniem.

4. Algebry: algebry z gradacją, algebry różniczkowe, algebry Liego; ideały i struktury ilorazowe; (super)iloczyn tensorowy algebr, algebra tensorowa modułu, algebra zewnętrzna.

5. Teoria algebr Clifforda na dowolnych przestrzeniach kwadratowych: konstrukcja uniwersalna, funktor Cliff, niskowymiarowe konstrukcje ab initio, algebra zewnętrzna jako algebra Clifforda, podstawowe elementy struktury (inwolucja i antyinwolucja kanoniczna, baza, operator chiralności, (anty)centrum etc.), algebra Clifforda sumy przestrzeni kwadratowych, kanoniczny iloczyn tensorowy, dwoistości i antyhermitowskie inwolucje na przestrzeniach kwadratowych; klasyfikacja rzeczywistych i zespolonych algebr Clifforda.

6. Teoria reprezentacji algebr: reprezentacje i splatacze, sumy proste i iloczyny tensorowe reprezentacji; przestrzenie niezmiennicze, (nie)przywiedlność, typy reprezentacji (rzeczywiste, zespolone, kwaternionowe) lematy Schura; reprezentacje (unitalnych) algebr prostych, reprezentacje definiujące algebr macierzowych; (ortogonalne) moduły Clifforda, klasyfikacja modułów Clifforda.

7. Geometria algebr Clifforda – cliffordowskie realizacje izometrii, grupy Clifforda, Pin i Spin, norma spinorowa, rozszerzenia centralne grup (pseudo)obrotów.

8. Reprezentacje spinorowe algebr Clifforda: konstrukcja i klasyfikacja, spinory Pauliego, Diraca i Weyla; spinory czyste Cartana (i flagi zerowe).

Semestr II

1. Przypomnienie i uzupełnienie niezbędnych pojęć i konstrukcji teorii rozmaitości: mapy lokalne, prezentacja współrzędniowa odwzorowań; struktura stycznościowa; submersje, ich kwazi-uniwersalność i cięcia lokalne.

2. Wiązki włókniste w modelowaniu zjawisk: efekt Aharonowa-Bohma, heureza Diraca-Feynmana; wiązka włóknista i jej rekonstrukcja z danych lokalnych.

3. Wiązki wektorowe: abstrakcja pojęcia wiązki wektorowej ze studium wiązki stycznej, cięcia a trywializacje, geometryzacje liniowych konstrukcji algebraicznych (suma prosta Whitneya, iloczyn tensorowy, dualizacja, wyznacznik, kompleksyfikacja etc.).

4. Elementy cartanowskiej geometrii grup Liego i przestrzeni z ich działaniem: podstawowe własności, grupa styczna, pola chiralnie niezmiennicze, algebra Liego i teleparalelizm, pochodne logarytmiczne i 1-formy Maurera-Cartana; działanie grupy Liego na rozmaitości, odwzorowania ekwiwariantne, pola fundamentalne; rozmaitości ilorazowe.

5. Wiązki główne ze strukturalną grupą Liego: abstrakcja pojęcia wiązki głównej ze studium wiązki baz wiązki wektorowej, elementy struktury (odwzorowanie ilorazowe, geometria włókien), cięcia a trywializacje; opis lokalny wiązek i morfizmów; redukcja (metryczna) i prolongacja (wzdłuż nakrycia uniwersalnego), także w opisie kohomologicznym (obstrukcje i klasyfikacja).

6. Wiązki stowarzyszone: abstrakcja pojęcia wiązki stowarzyszonej na podstawie rekonstrukcji wiązki wektorowej z jej wiązki baz, elementy struktury (izomorfizmy modelujące włókno, izomorfizmy transportu, niezmienniki wiązek); wiązki stowarzyszone jako wiązki rozmaitości z działaniem wiązki grup (dołączonej).

7. Wiązki Clifforda i wiązki spinorowe: konstrukcja, własności (cięcie chiralności, podwiązki chiralne); struktura spinowa na rozmaitości; działanie (włókno po włóknie) wiązki Clifforda na wiązce spinorowej; klasyfikacja wiązek spinorowych, wiązki Diraca, chiralne podwiązki Weyla.

8. Elementy teorii powiązania na wiązkach włóknistych: powiązanie włókien, powiązanie Ehresmanna i forma powiązania; podniesienie horyzontalne i pochodna kowariantna; morfizmy wiązek z powiązaniem.

9. Uzgadnianie powiązania ze strukturą na włóknie: powiązanie główne i 1-forma powiązania głównego – opis globalny i prezentacja lokalna; indukcja powiązania na wiązce stowarzyszonej – powiązanie Crittendena i pochodna kowariantna.

10. Rekonstrukcja operatora Diraca na wiązce spinorowej.

11. Elementy języka supergeometrii w służbie teorii pól fermionowych: superrozmaitości i ich morfizmy – opis snopowy i funktor punktów; supergrupy Liego jako przykład superrozmaitości (z dodatkową strukturą); superyzacja i działania funktorialne na czasoprzestrzeniach grassmannowsko parzystych.

1. W. Greub, “Multilinear Algebra”, Universitext, Springer-Verlag, 1978.

2. É. Cartan, “The Theory of Spinors”, Dover Books on Mathematics, Dover Publications, 1981 (tłumaczenie oryginalnych notatek wykładowych “Leçons sur la théorie des spineurs” zebranych w 1937 r. przez A. Merciera).

3. H. Blaine Lawson i M.-L. Michelsohn, “Spin Geometry”, Princeton Mathematical Series, Vol. 38, Princeton University Press, 1989.

4. C. Chevalley, “The Algebraic Theory of Spinors and Clifford Algebras”, Collected Works of Claude Chevalley, Vol. 2, Springer-Verlag, 1996.

5. P. Lounesto, “Clifford Algebras and Spinors”, London Mathematical Society Lecture Notes Series, Vol. 286, Cambridge University Press, 2001.

6. P. Budinich i A.M. Trautman, “The Spinorial Chessboard”, Trieste Notes in Physics, Springer-Verlag, 1988.

Uzupełniająca:

1. T. Leinster, “Basic Category Theory”, Cambridge studies in advanced mathematics, vol. 143, Cambridge University Press, 2014.

2. S. Mac Lane, “Categories for the Working Mathematician”, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 5, Springer-Verlag, 1971.

2. B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov, “Modern Geometry - Methods and Applications. Part III. Introduction to Homology Theory”, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1990.