Przedmioty monograficzne dla matematyki 2 stopnia (grupa przedmiotów zdefiniowana przez Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki)

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład monograficzny - 30 godzin

Wykład "Algebry Banacha" ma na celu zaznajomienie uczestników z podstawową teorią algebr Banacha ze szczególnym uwzględnieniem przypadku przemiennego.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Wykład "Analiza harmoniczna" jest przeznaczony dla studentów zainteresowanych szeroko pojętą analizą. Jego celem jest przekazanie wiedzy na temat klasycznych wyników przemiennej analizy harmonicznej i fourierowskiej. Przedmiot ten stanowi doskonały wstęp do nauki zagadnień bardziej szczegółowych oraz abstrakcyjnych. Wymagana jest znajomość analizy na poziomie pierwszych dwóch lat studiów oraz wiedza wchodząca w zakres funkcji analitycznych i analizy funkcjonalnej I (zaliczanie równoczesne tych wykładów jest wystarczające).

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Celem zajęć jest zapoznanie przyszłych nauczycieli matematyki z uwarunkowaniami zawodu nauczyciela.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Omawiane są następujące tematy:

* Abstrakcyjne ekwiwariantne teorie kohomologii i twierdzenie o lokalizacji dla działania torusa

* Ekwiwariantna K-teoria Segala poprzez topologiczne wiązki jako przykłąd ekwiwariantnej teorii kohomologii

* Genus eliptyczny i formy modularne

* Eliptyczne ekwiwariantne kohomologie dla przestrzeni z działaniem torusa.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Forcing stosowany jest do wykazywania dowodów niesprzeczności zdań języka teorii mnogości z ZFC, pozwala on na rozszerzanie danego modelu teorii mnogości M do większego modelu M[G], gdzie G jest tzw. filtrem generycznym nad M.

Forcing iterowany to metoda rozszerzania danego modelu teorii mnogości M, używająca powyższego schematu wielokrotnie: model M rozszerzany jest do modelu M1 = M[G0], gdzie G0 jest filtrem generycznym nadM, następnie nowo powstały model M1 jest rozszerzany do modeluM1[G1], gdzie G1 jest filtrem generycznym nad M1, itd.

Stosując tę procedurę α razy, gdzie α ∈ M jest liczbą porządkową, otrzymuje się złożony model będący rozszerzeniem M.

Celem wykładu będzie omówienie tej zaawansowanej techniki wraz z zaprezentowaniem jej zastosowań. Forcing iterowany stanowi obecnie niezbędne narzędzie w prowadzeniu badań na polu teorii mnogości, topologii i innych dziedzin, gdzie rozwiązania problemów badawczych zależą od przyjętej aksjomatyki teoriomnogościowej.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Kurs poświęcony jest najważniejszym funkcjom specjalnym i ich zastosowaniom do równań różniczkowych.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Wykład będzie prowadzony według książki [1] z możliwymi odniesienieami do [2] i [3]. Obiektem zainteresowań będą ciała wypukłe (czasem też bardziej ogólne zbiory, np. „sets of positive reach") w przestrzeniach euklidesowych skończonego wymiaru. Przedstawimy podstawy teorii Brunna-Minkowskiego i pokażemy zastosowanie do dowodu kilku twierdzeń (np. twierdzenie Minkowskiego o istnieniu ciała wypukłego o zadanej mierze powierzchniowej; zob. tw. 4.5 w [1]). Ostatecznie celem będzie twierdzenie Aleksandrowa o sferze: hiperpowierzchnia o stałej średniej krzywiźnie (lub stałych innych miarach krzywiznowych) musi być sferą; zob. [5].

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Grupa podstawowa przestrzeni topologicznej to jeden z najprostszych niezmienników homotopijnych. Pozwala ona tłumaczyć pytania na temat "kształtu" przestrzeni na zagadnienia z teorii grup. Okazuje się, że podobne niezmienniki można zdefiniować dla rozmaitości algebraicznych nad dowolnym ciałem i innych obiektów znanych z geometrii algebraicznej. Na wykładzie poznamy zasadnicze fakty na temat grup podstawowych zespolonych rozmaitości algebraicznych oraz zdefiniujemy etalną grupę podstawową. Ten niezmiennik, wprowadzony przez Grothendiecka, pozwala w szczególności zinterpretować grupę Galois jako przykład grupy podstawowej, stanowiąc podstawę dla współczesnej geometrii arytmetycznej.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

In this lecture, we will introduce the necessary basic concepts from topology that are needed for the first step into topological data analysis, e.g. topological

spaces, simplicial complexes, homology etc. Parallel to introducing these the- oretical concepts, we also discuss options of how to handle geometric objects

with the help of computers and learn how to implement the learned techniques to analyze data. The lecture will be accompanied by exercise sessions, in which

theoretical and practical (programming) problems will be solved by the students. Prior knowledge of (algebraic) topology will be helpful but not a strict re-

quirement. First experiences with Python is necessary for the practical part.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Proponowany wykład stanowi przegląd zagadnień geometrii różniczkowej, w których kluczową rolę odgrywają metody równań różniczkowych (zwłaszcza cząstkowych), a motywem przewodnim jest pojęcie krzywizny w geometrii Riemanna. Przykładowe zagadnienia:

- Twierdzenie Nasha o zanurzeniu izometrycznym

- Twierdzenie Nasha-Kuipera o egzotycznym zanurzeniu izometrycznym C^1

- Wyniki dotyczące potoku krzywiznowego dla krzywych w R^2 (curve-shortening flow) i średniokrzywiznowego dla podrozmaitości w R^n (mean curvature flow)

- Regularność rozmaitości o ograniczonej krzywiźnie Ricciego

Dokładna lista zagadnień zależy od liczby i poziomu przygotowania uczestników - idealnie powinni oni mieć za sobą podstawowy kurs (tzn. wstęp do) geometrii różniczkowej i równań różniczkowych cząstkowych.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Celem wykładu jest zapoznanie uczestników z podstawami teorii losowych układów dynamicznych. Wykład będzie ilustrowany przykładami zastosowań, w tym - wybranymi publikacjami.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Kurs wprowadza matematyczne podstawy Neural Ordinary Differential Equations (Neural ODEs) – nowatorskiego podejścia łączącego teorię równań różniczkowych zwyczajnych z głębokim uczeniem maszynowym. W przeciwieństwie do tradycyjnych dyskretnych sieci neuronowych, Neural ODEs modelują proces uczenia jako dynamikę ciągłą, opisywaną równaniami różniczkowymi.

• Laboratorium - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

• Laboratorium - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Program zajęć koncentruje się na metodach analizy nieefektywności rynków finansowych w oparciu o dane. Wykład wprowadza słuchaczy w zakres podstawowych pojęć i teorii ekonomicznych związanych z wyceną instrumentów finansowych. Omówione zostaną techniki agregacji danych różnych typów (numeryczne, tekstowe) pochodzących ze źródeł wielu rodzajów oraz ich analizy w środowisku chmurowym wykorzystywanym również do budowy narzędzi służących do automatyzacji realizacji strategii zarządzania portfelem aktywów, w tym tych bazujących na uczeniu maszynowym. Efektywność zaproponowanych rozwiązań będzie oceniana z uwzględnieniem rzeczywistych modeli bazowych np. indeksów giełdowych.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Celem przedmiotu jest zapoznanie studentów z wybranymi metodami topologicznymi i wariacyjnymi w zastosowaniu do nieliniowych równań eliptycznych. Przypomnimy klasyczne twierdzenie o górskiej przełęczy, a następnie omówimy ogólniejsze twierdzenie o geometrii zapętleń Rabinowitza. Będziemy zainteresowani również wielokrotnością punktów krytycznych i lokalizowaniem ich.

• Ćwiczenia - 30 godzin
• Wykład - 30 godzin

Wykład z modelowania geometrycznego dotyczy krzywych i powierzchni Beziera i B-sklejanych (w tym NURBS), powszechnie stosowanych w grafice komputerowej i w pakietach projektowania wspomaganego komputerem.

W przypadku braku studentów obcojęzycznych, zajęcia będą prowadzone po polsku.